Up スカラー計算 作成: 2017-12-17
更新: 2017-12-18


    量計算は,数計算になる。
    これは,量計算は数計算に還元されるということである。

    量計算である数計算は,これがどんな還元でこうなっているかをつねに理解して進める,というものでなければならない。
    実際,この理解を欠けば,計算を間違う。

      学校数学では,生徒の量計算は形式感覚や公式の適用でやる計算が専らになっていく。
      推論 (演繹) ではない。
      「わからなければ形に慣れろ」というわけである。
      そこで,割るところを掛けるみたいなことが,ふつうに起こる。


    単位を取ってしまうと間違うからといって,計算を単位付きで行おうとすれば,その計算はテンソル計算ということである。
    四則計算は数の計算であるから,これに単位を含ませることはできない。
    そこで,つぎがアイデアになる:
      《数に単位をメモる》
    実際,実用場面──物理学や工学──でのテンソルは,単位をメモした数変項の計算式である。

    体K上のn次元線型空間Vとその基底Eの場合として一般的に述べると,「数に単位をメモる」とはつぎをすることである:
      《Vの係数体Kの要素すべてに,添字の形で基底名「E」をメモる》
    添字の付け方は,Eを構成しているベクトルに添字するときの位置と上下逆である。 (ルールは,「共変・反変」のことばで述べられる。)


    このとき,例えば「5秒で2mの速さでは, 3秒で何m」の計算だとつぎのようになる:
      \[ 3^s \times {5_s}^{-1} \times 2^m \\ = (3 \times 5^{-1}) \times 2^m \\ = 1.2^m \]
    上付きのsと下付のsの縮約が,計算ということになるわけである。


      ちなみに,小学算数では,逸脱として,単位をつけた計算──特に,単位の約分──が行われている。 (実際,これが正しい計算法だとして,単位つき計算を指導する教員もいる。)
      小学算数がなぜこれを逸脱にしているかというと,つぎが理由ということになる:
      1. 本質的な考え方を,正規として教えるべし。
      2. ここまで述べてきたテンソルの概念・論理は,小学算数レベルで教えられるものではない。
      実際,テンソルの理論化は,嵩の多い計算を処さねばならない実務者──物理学や工学をやるひと──にとって必要になることである。