Up 「単位に依らない」 作成: 2017-12-17
更新: 2017-12-17


    「速さ×時間=距離」が計算公式であるということには,「単位に依らない」が含意されている。
    即ち,つぎが成り立つ:
      時間の単位 \( {\bf s}, {\bf s}^{'} \),長さの単位 \( {\bf m}, {\bf m}^{'} \) に対し,
        速さ \( {\bf v} = x\, {\bf m/s} = x^{'}\, {\bf m^{'}/s^{'}} \)
      時間 \( {\bf t} = y\, {\bf s} = y^{'}\, {\bf s^{'}} \)
      \( \Big\} \) \( \Longrightarrow \ (x \times y) \,{\bf m} \,=\, (x^{'} \times y^{'}) \,{\bf m^{'}} \)

    実際,\( {\bf s^{'}} = a\, {\bf s},\, {\bf m^{'}} = b\,{\bf m} \) とすると, \[ {\bf m^{'}/s^{'}} = (b\,{\bf m})\,/(a\, {\bf s}) = \frac{b}{a}\, {\bf m/s} \\ x\, {\bf m/s} = x^{'}\, {\bf m^{'}/s^{'}} = x^{'} \frac{b}{a}\, {\bf m/s} \ \ \Longrightarrow\ \ x^{'} = \frac{a}{b} x \\ y\, {\bf s} = y^{'}\, {\bf s^{'}} = y^{'}\, a\, {\bf s} \ \ \Longrightarrow\ \ y^{'} = \frac{1}{a} y   \\ (x^{'} \times y^{'}) \,{\bf m^{'}} = \left( \left( \frac{a}{b} x \right) \times \left( \frac{1}{a} y \right) \right) b\,{\bf m} = ( x \times y)\,{\bf m} \]