Up 単位の「約分」 作成: 2017-12-17
更新: 2017-12-18


    物理学や工学のひとが「2m/秒では,3秒で何m」を計算するときは,つぎのようになる:
      「2m/秒 ×3秒」の上下の「秒」を「約分」して,
       以下「=2m ×3= (2×3)m」。
    単位の「約分」は,どうしてOKなのか。


    「2m/秒」は,「比例関数:時間 → 距離 で,秒に2mを対応させるもの」であり,つぎのように分解される:
      秒*時間xにこれを秒で測ったときの値を返す関数
      \(m^+\)スカラーsに距離smを返す関数
      2距離yを2倍する関数
        \[ \begin{array}{c} \\ 時間 \\ t秒 \\ \end{array} \begin{array}{c} 秒^* \\ \longrightarrow \\ \\ \end{array} \begin{array}{c} \\ 数 \\ t \\ \end{array} \begin{array}{c} m^+ \\ \longrightarrow \\ \\ \end{array} \begin{array}{c} \\ 距離 \\ tm \\ \end{array} \begin{array}{c} 2 \\ \longrightarrow \\ \\ \end{array} \begin{array}{c} \\ 距離 \\ (2×t)m \\ \end{array} \\ \]

    この合成関数を用いると,「3秒で何m」がつぎの計算になる:
      \[ (2 m/秒)(3 秒) \\ = (2 \circ m^+ \circ 秒^* )(3 秒) \\ = (2 \circ m^+)(3) \\ = 2\,(3 m) \\ = (2 \times3)\,m \]
    ここでは 秒* と秒の縮約が起こっている。

    単位の「約分」をOKにしているものは,この計算の理である。