この線型変換 f は，枠 { (1, 0), (0,1) } をつぎのように変換する：
| (1, 0) | → | (1.5, -0.7) |
| (0, 1) | → | (-0.6, 0.9) |
そしてこれに伴って，x = m，y = n ( m, n = 0, ±1, ±2, ‥‥) の格子がつぎのように赤色の格子へと歪む：
ここで，もとの格子の各交点がどこに移動するかを，矢線で表してみる：
さて，この矢線図をじっと見てみる。
本来存在していない何かが見えてくるだろう：
見えてきたものを確認しよう (下のアイコンをクリック)：
この軸の意味は何だろう？
──つぎが，この軸の意味である：
「軸と同方向のベクトルに対しては，線型変換 f が単純に倍変換になっている」
計算によって，つぎの二つを同時に求めることができる：
- ２本の軸の式──あるいは，軸と同方向のベクトル (「固有ベクトル」と呼ぶ）
- 各軸の上で f は倍変換になっているが，この倍の値 (「固有値」と呼ぶ）
計算方法は，つぎのようになる：
f は，求める軸の上のベクトル (x, y) に対しては倍変換になっている。
k 倍であるとしよう。
f の表現行列を A とすると，つぎのようになっているということである：
これを計算すると，
(1.5x + (-0.6)y，(-0.7)x + 0.9y) ＝ (kx，ky)
⇒ (1.5 - k) x ＋ (-0.6)y ＝ 0，(-0.7) x ＋ (0.9 - k) y ＝ 0
⇒ (1.5 - k) (0.9 - k) x ー (-0.7) (-0.6) x ＝ 0
⇒ (1.5 - k) (0.9 - k) ー (-0.7) (-0.6) ＝ 0
⇒ k2 - 2.4 k ＋ 0.93 ＝ 0
⇒ k ＝ (12 ± √51)/10
⇒ k ≒ 0.5，k ≒ 1.9
上に出てきた関係式
(1.5 - k) x ＋ (-0.6) y ＝ 0
に k ＝ 0.5 を代入すると，
(1.5 - 0.5) x ＋ (-0.6) y ＝ 0
⇒ y ＝ 5/3 x
また，k ＝ 1.9 を代入すると，
(1.5 - 1.9) x ＋ (-0.6) y ＝ 0
⇒ y ＝ -2/3 x
ということで，２本の軸の式と各軸に対する固有値が，求まった。
以上のことから，つぎのことが導かれる：
この軸を最初から座標軸として選んでいたら，f はつぎの枠変換になっている：
| (1, 0) | → | (0.5, 0 ) |
| (0, 1) | → | ( 0, 1.9) |
そしてこれに伴い，次の図で青の平行四辺形が緑の平行四辺形に歪むように，全体が変形：
特に，線型変換 f を表現する行列が簡単な形 (「対角行列」）になる。
これは，小学算数でやったつぎのことと対応している：
「単位の取り直しによって，量の測定値を簡単にする」
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