線型変換ｆ: E → E による E の像 Im(f) がどうなるかを，ここで問題にする。
Im(f) がどうなるかを観察すると，つぎのことがわかる (実際，これは確かめられる)：
Im(f) は，原点を通る超平面 (部分線型空間) である。
ここで，つぎの２つを区別する：
- Ｅの次元が減少 (もとの空間が潰れる）
- Ｅの次元を保持 (潰れない)
Aを「退化」と呼び，Bを「非退化」と呼ぶ。
Ｅの次元を n とするとき，退化にはつぎの場合がある：
１次元減少
２次元減少
‥‥
ｎー2 次元減少 (原点を通る平面に潰れる)
ｎー1 次元減少 (原点を通る直線に潰れる)
ｎ次元減少 (原点に潰れる)
以上の観察から，つぎの問題を立てたくなる：
- f がどんな場合，退化か？ (ｆがどんな場合，非退化か？）
- 退化で減少する次元は，何によって決まるか？
この答えは，つぎのようになる：
- Ｅの基底 {ｕ1, ｕ2, ‥‥, ｕn } に対し，f(ｕ1), f(ｕ2), ‥‥, f(ｕn) が互いに１次独立なら，非退化。
- 互いに１次従属なものが ｋ＋1 個なら，ｋ次元減少の退化。
また，f の表現行列Ａを使えば，つぎのように言い直すことができる：
- Ａの行が互いに１次独立なら，非退化。
- 互いに１次従属なものが ｋ＋1 個なら，ｋ次元減少の退化。
ここで，Ker(f) の概念を，つぎの定義によって導入する：
Ker(f) は原点を通る超平面 (部分線型空間) になることが確かめられる。
また，「非退化」が，Ker(f) を使ってつぎのように特徴づけられるようになる：
Ker(f) ＝ {0} (０次元) が，非退化の条件になる
| 確認 : |
退化とは，基底 {ｕ1, ｕ2, ‥‥, ｕn } に対し，f(ｕ1), f(ｕ2), ‥‥, f(ｕn) が互いに１次従属であること。
すなわち，すべてが０ではない α1, α2, ‥‥, αｎ で，
f(ｕ1) × α1
＋ f(ｕ2) × α2
＋ ‥‥
＋ f(ｕn) × αn ＝ 0
となるものがとれること。
そしてこの相等関係は，つぎのことと同じ：
ａ＝ ｕ1 × α1
＋ ｕ2 × α2
＋ ‥‥
＋ ｕn × αn
f(ａ) ＝ 0
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よって，「0 と異なるＥの要素で Ker(f) に属するものが存在する」が，退化の条件。
言い換えると，Ker(f) ＝ {0} が，非退化の条件。
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Im(f)，Ker(f) のイメージをもつために，表現行列が
の線型変換 f および Im(f)，Ker(f) を作図してみる：
この図を観察すると，つぎのように見えてくる：
| Ker(f) | : | 全空間Ｅを潰すのに使う超平面 |
| Im(f) | : | 全空間Ｅを潰した先の超平面 |
さらに，３次元の場合で，このイメージを試されたい：
- 全空間を原点を通る平面に潰す場合 (Ker(f) が１次元で Im(f) が２次元)
- 全空間を原点を通る直線に潰す場合 (Ker(f) が２次元で Im(f) が１次元)
- 全空間を原点に潰す場合 (Ker(f) が３次元で Im(f) が０次元)
このイメージは，Ker(f) の次元と Im(f) の次元の和が Ｅの次元に等しいことを示唆している (実際，このことは確かめられる)：
dim( Ker(f) ) ＋ dim( Im(f) ) ＝ dim( Ｅ )
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