実数の拡張

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• 複素数の表記「a＋bi」の先の導入 ( 複素数の表記 (2タイプ)) は，実は，厳密性を欠いています。
  実際，「a＋bi」に対してわたしたちは「a＋b × i」の見方 (和と積への分解) をしますが，先の定義では，これの説明がつきません。
  
  複素数の定義から「a＋b × i」の見方に進む間には，「実数の拡張」のステップがあります。──以下，これを示します。
  
  
• 「6.2 複素数の表記 (2タイプ)」で述べたつぎの複素数の作用に戻り，これを (x, y) と表現しましょう：

以下，実数の＋，× に対し，複素数の＋，×を＋，× で表すことにします。

• 先ず，

(a, 0) ＋ (b, 0) ＝ (a＋b, 0),　　 (a, 0) × (b, 0) ＝ (a × b, 0)

(0, 0) ＋ (a, b) ＝ (a, b)　　( (0, 0) は複素数の零元) (1, 0) × (a, b) ＝ (a, b)　　( (1, 0) は複素数の単位元)

が成り立つので，つぎのことが言えます：

複素数は実数の拡張で，実数 a には複素数 (a, 0) が対応する。 実数の 0(零元), 1(単位元) には，複素数の 0, 1 がそれぞれ対応する。

そこで， (a, 0) を単に a と書きます。


• さらに i = (0, 1) とおくと，複素数の表現「a＋b i」が得られます：

(a, b) ＝ (a, 0) ＋ (0, b) ＝ (a, 0) ＋ (b, 0) × (0, 1)＝ a ＋ b i

また,「i²＝ −1」が得られます：

i² ＝ (0, 1) × (0, 1) ＝ (−1, 0) ＝ −1