オイラーの公式
\[
e^{ix} = cos\ x + i\ sin\ x
\]
より，
\[
cos\ x = \frac{1}{2}\ ( e^{ix} + e^{-ix} ) \\
sin\ x = \frac{1}{2i}\ ( e^{ix} - e^{-ix} ) \\
\]
これを用いると，フーリエ級数
\[
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty\ \Bigl(\
a_n\ cos\ \Bigl( \frac{2 \pi}{L}\ n x \Bigr)
+ b_n\ sin\ \Bigl( \frac{2 \pi}{L}\ n x \Bigr)\
\Bigr) \\
\ \ \\
\quad \quad a_n = \frac{2}{L}\ \int_0^{L} f(x) cos\ \Bigl( \frac{2 \pi}{L}\ n x \Bigr)\ dx \\
\quad \quad b_n = \frac{2}{L}\ \int_0^{L} f(x) sin\ \Bigl( \frac{2 \pi}{L}\ n x \Bigr)\ dx \\
\]
は，つぎの形──複素フーリエ級数──に書き換えられる：
\[
f(x) = \sum_{-\infty}^\infty\ c_n\ e^{ i \frac{2 \pi}{L} n x } \\
\ \ \\
\quad \quad c_n = \frac{1}{L}\ \int_0^{L} f(x)\ e^{- i \frac{2 \pi}{L} n x }\ dx
\]
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