積・乗法

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• 一般に，数の積は，道具としてつぎのように使われるよう導入されています：
  
  数ｍ，ｎと量ｕ，ｑ，ｒが

の関係にあるとき，ｕに対するｒの比を「ｍ×ｎ」で表す。

• 「×」の記号のこの用い方を保証する複素数の積は，どのように定義されるものになるでしょう？

(r₁, θ₁) × (r₂, θ₂) = (r₁ × r₂, θ₁ + θ₂)

と定めればよいことがわかります：

• 「x + yi」の表記では，積の式はつぎのようになります^(註)：

(a₁ + b₁i) × (a₂ + b₂i) ＝ (a₁ × a₂ − b₁ × b₂) ＋ (a₁ × b₂ ＋ b₁ × a₂) i

• そして複素数の乗法ですが，一般に数の乗法は, (数の積が定義されているときの) 関数：

（ｍ，ｎ） ｍ×ｎ
（「２数にそれらの積を対応させる」）

として定義されます。複素数の場合もこれに準じます。

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(註)	a1 + b1i ＝ (r1, θ1)， a2 + b2i ＝ (r2, θ2) とすると， (a1 + b1i) × (a2 + b2i) ＝ (r1 × r2, θ1 + θ2)。 ここで，(r1 × r2, θ1 + θ2) ＝ x + yi とおくと，

x	＝ (r1 × r2) cos(θ1 + θ2) ＝ (r1 × r2) (cosθ1 × cosθ2 − sinθ1 × sinθ2) ＝ (r1cosθ1 × r2cosθ2) − (r1sinθ1 × r2sinθ2) ＝ (a1 × a2) − (b1 × b2)
y	＝ (r1 × r2) sin(θ1 + θ2) ＝ (r1 × r2) (sinθ1 × cosθ2 ＋ cosθ1 × sinθ2) ＝ (r1sinθ1 × r2cosθ2) ＋ (r1cosθ1 × r2sinθ2) ＝ (b1 × a2) ＋ (a1 × b2)