商の意味　(記号「÷」の文法)  

    ２数 ｍ , ｎの商「ｎ÷ ｍ」は，「mと掛けてｎになる数」の言い換え (表記) として導入されます。
    すなわち，つぎの式を満たす数「?」を「ｎ÷ ｍ」と書くということです：
ｍ×？＝ ｎ
？×ｍ＝ ｎ


    このように定めてよいのは，この２つの式を満たす「？」が同じになる場合です。
    自然数，分数，正負の数，複素数では，積の可換性が成り立ちますので，「？」は同じになります。 よって，商「ｎ÷ ｍ」を導入してよいことになります。

    　　注意 : 「積の可換性」は四元数になると成立しません。よってこれを「数」の条件とはしません。


    なお，「ｎ÷ ｍ を導入できる」ということは,「ｎ÷ ｍ が存在する」ということとは別問題です。 すなわち，「n ÷ m」は，存在しないこともあり得ます。──「対象化する」と「それが実際に存在する」は，別のことです。

      例えば，自然数では,「2 ÷ 3」(「3 とかけて 2 になるもの」) は存在しません。しかし,「2 ÷ 3」の対象化は，このことでは妨げられません。
      現に,「自然数では 2 ÷ 3 は存在しない」の言いまわしに,「2 ÷ 3」が対象化されています。
      ──「対象化する」と「それが実際に存在する」は，別のことです。

      比較 :「体長100m の魚」は，それが存在するかどうかと関係なく，ことばとして意味をもちます。

      「÷０」の意味


    「商」の意味 (記号「÷」の文法) は，以上述べたことですべてです。
    特に，「÷」には「分ける」といった力仕事の意味はありません。(分数や複素数の場合を考えれば，このことは簡単に了解されるでしょう。）
    「÷」に対して「分ける」を意味として感じてしまうのは，小学算数のところで「分ける問題に対して商の式を立てる」が訓練され，その中で道具 (数，商の式) とそれの応用対象 (分ける問題) を混同する習慣をつけられてしまったからです。