Up 「数」の形式の意味/理由  

    「＜量の表現や計算に使える形式＞の実現」が，「数の実現」です。
    数の形式の意味/理由は，＜量の表現や計算に使える形式＞です。
    以下，このことを見ていきます。

    「数」を導入するときには，これにつぎの用法を見ています：

    1. 量の倍が，考えられる。
      また，ある一つの量ｕの何倍という形ですべての量が表される。
        任意の量ｑと数○に対し，ｑの○倍になる量が存在する。
        また，任意の量ｑに対し，「ｑはｕの○倍」となる数○が存在する。
    2. 量の和が，数の和で計算される。
        任意の量ｑに対し，ｑの△倍とｑの□倍の和はｑの (△＋□) 倍。
    3. 量の倍の倍が，数の積で計算される。
        任意の量ｑに対し，ｑの△倍の□倍はｑの (△×□) 倍。

    ＋，× は，この用法を満たすようにつくられます。
    数には自然数，分数，正負の数，複素数，四元数といろいろあって，２数の和，積を定義する式も全然違いますが，上の用法を満たすように＋，ーを定めようとすると，その定義式になるわけです。

    さらに，＋，× の用法は，＋，× の代数的規則を自ずと呼び込むものになります。 ──呼び込まれる規則は，つぎのものです：

    1. × に関する単位元が存在する。 (これを１と書く。)
    2. ○×△ ＋ ○×□ ＝ ○× (△＋□)
    3. (○×△)×□ ＝ ○× (△×□)

    どうしてこの規則が呼び込まれるのか？
    確認しましょう。

    「× に関する単位元１が存在する」

      「任意の量ｑに対し，ｑ＝ｑの○倍」となる数○を導入したい。
      この数○において，つぎが導かれる：
        量ｑがｕの△倍であるとするとき，ｕの△倍＝ｑ＝ｑの○倍＝ｕの△倍の○倍＝ｕの (△×○) 倍。
        ｑの△倍＝ｑの○倍の△倍＝ｑの (○×△) 倍。
      「ｕの△倍＝ｕの (△×○) 倍，ｑの△倍＝ｑの (○×△) 倍」を見て，× に関する単位元１を○としてとることになる。

    「 ○×△ ＋ ○×□ ＝ ○× (△＋□) 」

      量ｑがｕの○倍であるとする。
      ｑの△倍とｑの□倍の和 ＝ ｕの○倍の△倍とｕの○倍の□倍の和。
      ｕの○倍の△倍とｕの○倍の□倍の和 ＝ ｕの (○×△) 倍とｕの (○×□) 倍の和 ＝ ｕの (○×△ ＋ ○×□) 倍。
      また，ｕの○倍の△倍とｕの○倍の□倍の和 ＝ ｕの○倍の (△＋□) 倍 ＝ ｕの (○× (△＋□)) 倍。
      「ｕの (○×△ ＋ ○×□) 倍 ＝ ｕの (○× (△＋□)) 倍」を見て，(○×△)×□ ＝ ○× (△×□) を規則にすることになる。

    「 (○×△)×□ ＝ ○× (△×□) 」

      量ｑがｕの○倍であるとする。
      ｑの△倍の□倍 ＝ ｕの○倍の△倍の□倍 ＝ ｕの ((○×△)×□) 倍。
      また，ｑの△倍の□倍 ＝ ｑの (△×□) 倍 ＝ ｕの○倍の (△×□) 倍＝ｕの (○× (△×□)) 倍。
      「ｕの ((○×△)×□) 倍 ＝ ｕの (○× (△×□)) 倍」を見て，(○×△)×□ ＝ ○× (△×□) を規則にすることになる。