Up 分数の場合 作成: 2007-05-03
更新: 2007-05-05

    分数の求和公式は，正負の数や複素数の場合と比べると複雑です。 したがってこのテキストでは，これを正負の数，複素数の後にもってきました。

    さて，数の和は 倍の和として定められます。 そこで分数の場合，つぎのようになります (倍は，長方形のヨコの長さに関する倍)：


    この関係が成り立つようにするには，分数の和をどのように定めたらよいでしょう？
    そこで実際に「2/3 ＋ 5/4」が表す分数を求めてみます。

    1. 「2/3 ＋ 5/4」が表す分数「?/?」を求めるとは，どういうことか？


    2. それは，つぎのような量ｖを求めること：


    3. 分数 2/3，5/4 の意味により，つぎのような量 ａ1, ｂ1 がとれる：


    4. ａ1 とｂ1 を共約する量としてｖが求まればよい。
      ──ａ1 の3 倍とｂ1 の4 倍が同じであることが，ｖを求めるヒント：


    5. ４倍してａ1 になる量と３倍してｂ1 になる量は，同じ。
      これが，ａ1 とｂ1 を共約する量ｖになる。


    6. ａはｖの ４×２倍，ｂはｖの３×５倍。よって，ａ＋ｂはｖの (４×２＋３×５)倍。
      また，ｕはｖの３×４倍。


    7. これで，分数「?/?」が求まった：



    この例から類推して，求和の公式がつぎのようになることがわかります：


    通分
    量ｖは，「ａ1 とｂ1 に共通の分割を求める」という方針で求めています。
    ｖを得て，このｖから 比 2/3 : ｕ→ａ，5/4 : ｕ→ｂ を見るとき，２つの比はそれぞれ (４×２)/(４×３)， (３×５)/(３×４) になっています。
    特に，(2/3)＋(5/4) は，(４×２)/(４×３)＋(３×５)/(３×４) になります。


    これは何を意味しているでしょう？
    「ａ1 とｂ1 に共通の分割を求める」は，「2/3，5/4 の分母を通分する」に対応しているということです。
    つまり，つぎの形をつくっているわけです：
    この形の和の場合，求和公式はつぎのようになります：
    以下が，この求和公式の理由です：