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準同型としての「比例関数」

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「比例関数」の数学的意義は,「量の準同型（homomorphism）」──すなわち,「一方の量の代数的関係を保存して写すような写像」──です。

「量」を「１次元の線型空間」と見る立場から一般次元線型空間を考えるとき，「準同型」はつぎの２式で表現されます：



(1) ｆ(ｑ×ｎ)＝ｆ(ｑ)×ｎ (2) ｆ(ｑ＋ｑ')＝ｆ(ｑ)＋ｆ(ｑ')


「比例関数」は条件 (1) で定義されました。そして「量＝１次元線型空間」」の場合，(2) は (1) の含意になっています。したがって，「比例関数」は準同型です。

一般次元では，(2) は (1) から導かれません。