量には，倍と和が考えられました。
「比例関係を量と見ることができる」の意味には，「比例関係において倍と和を考えられる」が含まれています。
さて，比例関係において倍と和は，どのように考えられるのでしょう？
速さを例にします。
わたしたちは，あたりまえのように，速さの倍と和を使っています：
- 時速3km の２倍──これは，時速(3×2)km：
［1時間に3km が対応する比例関係］の２倍は，［1時間に＜3kmの2倍 ＞が対応する比例関係］
- （時速 3km の動く歩道の上を時速 4kmで歩くような場面で）
時速 3km と時速 4km の和──これは，時速(3＋4)km：
［1時間に3km が対応する比例関係］と［1時間に4km が対応する比例関係］の和は，［1時間に＜3kmと4km の和＞が対応する比例関係］
「どの比例関係も量になる」を見るための別の例として，「時間と体積の間の比例関係」を取り上げてみます。
この比例関係は，「蛇口から水を出すときの，経過時間と出た水の体積」の場面に使えます。
そして，つぎのような計算をしています：
- 毎秒3m3 の２倍──これは，毎秒(3×2)m3：
［1秒に3m3 が対応する比例関係］の２倍は，［1秒に＜3m3の2倍 ＞が対応する比例関係］
- (二つの蛇口から水をいっしょに出すような場面で)
毎秒 3m3 と毎秒 4m3 の和──これは，毎秒(3＋4)m3：
［1秒に3m3 が対応する比例関係］と［1秒に4m3 が対応する比例関係］の和は，［1秒に＜3m3と4m3 の和＞が対応する比例関係］
「比例関係は量と見ることができる」の数学は，つぎのようになります：
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(N, ＋, ×) を数の系とする。──これから量形式 ( (N, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) を導かれる。
( (Ｑ, ＋), ×, (N, ＋, ×) )，( (Ｑ', ＋), ×, (N, ＋, ×) ) を，( (N, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) と同型な量とする。
QとQ' の間の比例関係全体の集合は，比例関係の間の算法＋と，比例関係に対する数の倍作用 ｘ をつぎのように定義するとき，( (N, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) と同型な量になる：
(ｆ＋ｇ)(ｘ) = ｆ(ｘ) + ｇ(ｘ) (ｘ∈Q)
(ｆｘｋ)(ｘ) = ｆ(ｘ)ｘｋ (x∈Q, ｋ∈N)
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実際にこの内容を手近な数学書の中にさがすならば，「線型代数」のつぎの内容がこれと対応していることになります：
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体Ｋ上の二つの線型空間Ｖ，Ｖ' に対し，ＶからＶ' への線型写像全体の集合 Hom(Ｖ, Ｖ') は，ｆ, ｇ∈ Hom(V, V'), ｋ∈Kに対し ｆ＋ｇ および ｆｘｋ をつぎのように定義することにより，体Ｋ上の線型空間になる：
(ｆ＋ｇ)(ｘ) = ｆ(ｘ) + ｇ(ｘ) (ｘ∈Ｖ)
(ｆｘｋ)(ｘ) = ｆ(ｘ)ｘｋ (ｘ∈Ｖ, ｋ∈Ｋ)
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