「比例関係」を，
「一方が２倍, ３倍, ‥‥ になるとき，もう一方も２倍, ３倍, ‥‥ になる」
で定義しました。
では，自然数倍ではなく分数 ｎ/ｍ 倍の場合はどうなるのでしょう。
実は，定義より，
「一方が ｎ/ｍ 倍になるとき，もう一方も ｎ/ｍ になる」
が導かれます。
以下，このことを示します。
先ず，「ｎ/ｍ」の意味から，つぎの関係を満たす量 c がとれます：
「比例関係」の定義より，ｍ倍にはｍ倍が対応します：
このとき，c' が a' と b' をｍ：ｎに共約している図が得られています！
よって，分数倍の定義より，a' と b' の比は n/m：
これで，ｎ/ｍ 倍には ｎ/ｍ 倍が対応することが示されました。
| 註 : |
比例関係で分数倍には同じ分数倍が対応することがわかりました。では，
このことからさらに，実数倍には同じ実数倍が対応するでしょうか？
答えはYes ですが，証明は専門的内容になります。
以下，その概略です。
つぎのようであるとします：
そして，r, s に収束する有理数列 {ｒｎ }, {ｓｎ } をそれぞれ一つとります。
「量の系は加法を伴う数と同型」ですので，{ａ ×ｒｎ } は a ×ｒ ＝ b に収束します。さらに，「分数倍には分数倍が対応する」を使って，{ａ'× ｒｎ} が b' に収束することが導かれます。
一方，{ａ' × ｓｎ} も b' に収束します。そして{ａ' × ｒｎ} と{a' × ｓｎ} の極限が同じということからは， {ｒｎ }, {ｓｎ } の極限が同じであることが導かれます。すなわち，r ＝ s です。
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