Japanese Irrational Number  


  • 整数比 (分数) で表すことができない比 (倍関係) は,「非的」の意味で「irrational」と呼ばれます。
    翻って,整数比 (分数) で表せる比 (倍関係) は,「非的=irrational」に対立させて「的=rational」と呼ばれます。
    ただし,「irrational」,「rational」の日本語訳は,それぞれ「無理」,「有理」です。「有理数・無理数」のことばは,ここから出ています。

  • 無理数については,「代数的 (algebraic)」と「超越的 (transcendental)」の区分がされることも,知っておいてください。
    「代数的」とは,n次方程式 anxn + an-1xn-1 + ‥‥ + a1x + a0 = 0 の解になるものを言います。そして,「超越的」とは「代数的」でないことです。

  • 学校数学に出てくる重要な数では,円周率π,ネピア数 (自然対数の底) eが超越数です。
  • 正方形の辺と対角線の長さの比 x は,代数的無理数の √2 です。この証明の仕方を,ここで改めて確認しておくことにしましょう。
    まず,ピタゴラスの定理 (三平方の定理) より,に対し x2 = 12 + 12 = 2 が成り立ちます。よって,x は √2 です。


    さて,√2 が無理数でないとします──有理数 a/b (a, b は互いに素) であるとします。(a/b)2 = 2 より,a2 = 2 × b2。よって,a は偶数。そこで,a = 2 × c とおくと,(2 × c)2 = 2 × b2,2 × c2 = b2,よって b は偶数。これは,「a, b は互いに素」に矛盾。よって, (背理法により) √2 は無理数でなければなりません。