4.1.2 比の導出のモデル
比の表現“自然数：自然数”では，同じ比に対して異なる表現が可能である。しかし同時に，
《ｍ:ｎとｍ′:ｎ′が同じ比の表現であるためには，ｍ×ｎ′＝ｍ′×ｎ であること，あるいは同じこととして(註)，自然数ａ,ｂ,ｋ,ｋ′でｍ＝ｋ×ａ，ｎ＝ｋ×ｂ，ｍ′＝ｋ′×ａ，ｎ′＝ｋ′×ｂとなるものが存在することが，必要十分》
のきまりがある。
“比”の定式化は，この
“先ず《比》，そして《比を表現する自然数の対》，さらに《同じ比を表現する自然数の対の間に成立するきまり》”
の順序を逆立ちさせる。即ち,《同値な表現のきまり》で自然数の対を類別し，このときの類全体の集合として“比の集合”
R を定義する。
（註） (1) ｍ＝ｋ×ａ，ｎ＝ｋ×ｂ，ｍ′＝ｋ′×ａ，ｎ′＝ｋ′×ｂのとき，ｍ×ｎ′＝(ｋ×ａ)×(ｋ′×ｂ)＝(ｋ′×ａ)×(ｋ×ｂ)＝ｍ′×ｎ。
(2) 逆に，ｍ×ｎ′＝ｍ′×ｎ のとき，ｍとｎの最大公約数ｋと，ｍ′とｎ′の最大公約数ｋ′に対し，ｍ＝ｋ×ａ，ｎ＝ｋ×ｂ，ｍ′＝ｋ′×ａ′，ｎ′＝ｋ′×ｂ′とすれば，ｋ×ｋ′×ａ×ｂ′＝ｍ×ｎ′＝ｍ′×ｎ＝ｋ×ｋ′×ａ′×ｂ。これより，ａ×ｂ′＝ａ′×ｂ。ａとｂが互いに素だから，ｂはｂ′の約数。また，ａ′とｂ′が互いに素だから，ｂ′はｂの約数。よってｂ＝ｂ′，さらにこれからａ＝ａ′。