4.3.3 (N
D
)
D
とN
D
の同型性
学校数学では，Ｎの要素ｎに対する (N
D
)
D
の要素±(＋ｎ)（＝
(−ｎ)）と N
D
の要素±ｎの同一視を暗黙に導入する。これは本来,“(N
D
)
D
とN
D
の同型”という主題になる。
実際
ｉ(±(＋ｎ))＝±ｎ （複号同順）
ｉ(０)＝０
で定義される写像ｉ:(N
D
)
D
─→N
D
は,((N
D
)
D
,＋,×）の（N
D
,＋,×）の上への同型になっている
(註)
。
特に，(N
D
,＋,×）からの（(N
D
)
D
,＋,×）の導出では，実質的に，新しい対象はつくられない。
（註） (1) 先ず，＋(−ｍ)＝−(＋ｍ)，−(−ｍ)＝＋(＋ｍ) より，ｉは定義できる。そして
ｊ(±ｍ)＝±(＋ｍ) (複号同順)
で定義される写像ｊ:Ｎ
D
─→(Ｎ
D
)
D
がｉの逆写像になる。
(2) ｊ((＋ｍ)＋(＋ｎ))＝ｊ(＋(ｍ＋ｎ))
＝＋(＋(ｍ＋ｎ))＝＋((＋ｍ)＋(＋ｎ))
＝(＋(＋ｍ))＋(＋(＋ｎ))＝ｊ(＋ｍ)＋ｊ(＋ｎ)
ｊ((−ｍ)＋(−ｎ))＝ｊ(−(ｍ＋ｎ))
＝−(＋(ｍ＋ｎ))＝−((＋ｍ)＋(＋ｎ))
＝(−(＋ｍ))＋(−(＋ｎ))＝ｊ(−ｍ)＋ｊ(−ｎ)
ｊ((＋ｍ)＋(−ｎ)) は，ｍ＋ｐ＝ｎのときは (＋ｍ)＋(＋ｐ)＝(＋ｎ) より，
＝ｊ(−ｐ)＝−(＋ｐ)＝(＋(＋ｍ))＋(−(＋ｎ))＝ｊ(＋ｍ)＋ｊ(−ｎ)
同様に，ｍ＝ｎ＋ｐのときも，＝ｊ(＋ｍ)＋ｊ(−ｎ) を得る。そして，ｍ＝ｎのときは＋ｍ＝＋ｎより，
＝ｊ(０)＝０＝(＋(＋ｍ))＋(−(＋ｍ))
＝ｊ(＋ｍ)＋ｊ(−ｎ)
(−ｎ)）と ND の要素±ｎの同一視を暗黙に導入する。これは本来,“(ND)D とND の同型”という主題になる。