5.2.3.2 零を含む自然数の系


　現行では算数科のかなり早い時期に，零元としての“0"(註)を導入している。──もっとも,“無い”ことの表現として指導するわけであるが。

　零元の理論的な導入は，《自然数への加法，乗法の導入の仕方を作為して，特定の要素を零元にする》というものである。実際，加法，乗法の定義をつぎのように変更することで，先頭の自然数を零元にすることができる──この結果,“零を伴う自然数”が実現される。

　即ち，先頭の自然数を 0 と書くとき，＋，×をつぎのように定義する：
ｘ＋0＝ｘ 　　　　　　　　
ｘ＋succ(ｙ)＝succ(ｘ)＋ｙ
ｘ×0＝0　　　　　　　　　
ｘ×succ(ｙ)＝ｘ×ｙ＋ｘ　

　但し，本論考では《“零”はD の零元として導入する》という立場をとる。


（註） 零元としての“0”に対しては，十進数の生成文法の要素記号としての“0”がある。記号“0”のこの混用は，“使い勝手”という観点から説明されることがらである。