6.3 比，比の値


　(Ｎ,＋,×) を，×が可換な数の系とする。

　(Ｎ,＋,×) からの (NR,＋,×) の導出の過程(§4.1)で，Ｎの要素に関する比の概念を導入した。

　いま，((Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×) と同型な量の系 ((Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),×) に対しても，《両者の間の同型対応によって，Ｎにおける比をＱに写す》という形で，比を構成する。──具体的には，Ｑの単位ｕに対し，

ｕ×ξ1：ｕ×η1＝ｕ×ξ2：ｕ×η2 ξ1：η1＝ξ2：η2


　ｘ，ｙ∈Ｑに対し，つぎの条件は同値(註)：
  1. ｘ×η＝ｙ×ξ

  2. あるｗ∈Ｑに対し，
    ｘ：ｙ＝ｗ×ξ：ｗ×η
この条件が満たされるとき,“ｘとｙの比はξ:η”とか,“ｘに対するｙの比の値はη/ξ”,“ｘをもとにしたｙの値はη/ξ",“ｘのη/ξ倍はｙ”などと言い表わす。

　なお,“比",“比の値",“割合",“分数倍”は，同じ形式の異なる受け止め方に過ぎない。いまの数指導は，これらを整理する必要がある。実際，形式の諸相を巡りながらも，形式そのものを直示することをしていない。子どもから“わかった！”と言われたら，教師はむしろ困惑すべきである。──“わかるべきことがらを示してはいないのに････",と。


（註）
    (1) (2) :
    ｘ×η＝ｙ×ξで，Ｑの単位ｕに対しｘ＝ｕ×α，ｙ＝ｕ×βであるとする。このとき，ｕ×α×η＝ｕ×β×ξであるが，これをｗとすると，ｗ×ξ：ｗ×η＝ｕ×α×η×ξ：ｕ×β×ξ×η＝ｕ×α：ｕ×β＝ｘ：ｙ。
    (2) (1) :
    ｘ：ｙ＝ｗ×ξ：ｗ×ηであるとき，Ｑの単位ｕに対しｘ＝ｕ×α，ｙ＝ｕ×β，ｗ＝ｕ×γとすると，ｕ×α：ｕ×β＝ｕ×(γ×ξ)：ｕ×(γ×η)。このとき，α：β＝(γ×ξ)：(γ×η)＝ξ：η。よって，ｘ×η＝ｕ×(α×η)＝ｕ×(β×ξ)＝ｙ×ξ。