6.5.3 量の系からの，位の系の導出


　量の系
(Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),×)
からは，位の系
(Ｑ0,((ＱD,＋),(ND,＋,×),×),＋)

が導かれる──ここで，Ｑ0＝Ｑ∪{0}(註1)。

　即ち，((Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×) と（(Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),×）の同型を用いて，((Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×) からの (Ｎ0,((ND,＋),(ND,＋,×),×),＋) の構成法を ((Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),×) に適用する(註2)。

　例えば,“高度”は，長さ(距離)の系

((Ｑ,＋),(,＋,×),×)
から導かれる位の系
(Ｑ0,((ＱD,＋),(,＋,×),×),＋)

として解釈可能である。──Ｑ0の要素を“高さ”と読み，ＱDの要素を“(方向付き)高度差"（“高さの増減"）と読む。


（註１） この発想は，ベクトル空間 ((Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),×) からアフィン空間 (Ｑ,((Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),×),＋) を導出する発想（周知のもの）に準ずる。

（註２） 先ず，同型対応

(ｆ,idN)：((Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×) ─→ ((Ｑ,＋),(Ｎ,＋,×),×)

を使って，(Ｎ,＋) からの (ND,＋) の構成(§4.7)に (Ｑ,＋) からの (ＱD,＋) の構成を対応させる。
　この構成の結果としての同型
ｆ：(ND,＋) ─→ (ＱD,＋)
に対し，
(ｆ,id)：((ND,＋),(ND,＋,×),×) ─→ ((ＱD,＋),(ND,＋,×),×)

は量の系の構造に関する同型。そして，量の系 ((ＱD,＋),(ND,＋,×),×) から導かれる系 (Ｑ0,((ＱD,＋),(ND,＋,×),×),＋) が求めるものである。