7.2.2 直線，平面に対する位の系の解釈


　直線──１次元ユークッド空間として定式化された直線──は，つぎのように位の系

（ＳE,(ＱE,＋),(,＋,×),×),＋）

として解釈できる：
  1. ＳEは，点集合としての直線
  2. ＱEは，点の変位ベクトル（移動ベクトル）全体の集合
  3. ＋は，直進移動：


  4. ＱEの＋は，変位ベクトル（移動ベクトル）の合成
  5. は，変位ベクトルに対する倍作用素の集合
  6. ×は，変位ベクトル（移動ベクトル）に対する実数の“倍”作用
  7. の＋，×は，それぞれ倍の和および倍の合成
ここで，基準ＯE∈ＳE と単位ｅ∈ＱE*は任意に固定すればよい。

　また，平面──２次元ユークッド空間として定式化された平面──は，以下のように位の系

（ＳE,(ＱE,＋),(,＋,×),×),＋）

として解釈できる。
  1. ＳEは，点集合としての平面
  2. ＱEは，点の変位ベクトル（移動ベクトル）全体の集合
  3. ＋は，直進移動
  4. ＱEの＋は，変位ベクトル（移動ベクトル）の合成
  5. は，変位ベクトルに対する“倍/回転”作用の集合
  6. ×は，変位ベクトル(移動ベクトル)に対する複素数の“倍/回転”作用：
    ＱEの要素ｘ＝ｕ×[ｒ,θ] に対し，
    　ｘ×[ｓ,τ]＝ｕ×([ｒ,θ]×[ｓ,τ]) ＝ ｕ×[ｒ×ｓ,θ＋τ]

  7. の＋，×は，それぞれ倍/回転作用の和および合成：
    (ξ＋iη)＋(ξ′＋iη′) ＝ (ξ＋ξ′)＋i(η＋η′)
    [r1,θ1]×[r2,θ2]＝[r1×r2,θ1＋θ2]