「正負の数」への数の拡張は，「差の系の導出」です。
既存の数の系から新しい数の系を導くことは，すでに小学校算数でもやっています。指導の上で明示することはありませんが，分数は自然数から導き出したものです。
ただ，自然数から分数を導く方法は,「比の系の導出」です。
「比の系の導出」はこんなふうでした：
比の表現「ｎ：ｍ」で同値になる数のペア全体を，新しい一つの数と考える
例えば，
(2,3), (4,6), (6,9), (8,12), ‥‥‥‥
の各々は互いに同じ比の表現をつくる自然数のペアですが，これら全部のひとくくりを一つの数（分数）としたわけです。
この数は (2,3), (4,6), (6,9), (8,12), ‥‥‥‥ のうちの一つを使って，例えば (6,9) を使って「9/6」と表現されました。
一方,「差の系の導出」はこんなぐあいです：
差の表現「ｎ−ｍ」で同値になる数のペア全体を，新しい一つの数と考える
例えば，
(1,4), (2,5), (3,6), (4,7), ‥‥‥‥
の各々は互いに同じ差の表現をつくる自然数のペアですが，これら全部のひとくくりを一つの数（整数）とします。
この整数は (1,4), (2,5), (3,6), (4,7), ‥‥‥‥ のうちの一つを使って，例えば (2,5) を使って「5−2」と表現してもいいのですが，
2＋ｘ＝5
となる自然数ｘ，すなわち３，を使って「３」と表現できます。
ところで，上の各ペアの前後を逆にした
(4,1), (5,2), (6,3), (7,4), ‥‥‥‥
も同じ差の表現をつくる自然数のペアですから，これらひとくくりが一つの整数になります。ただ， (5,2) に注目した場合，
5＋ｘ＝2
となる自然数ｘは存在しません。かわりに，
5＝2＋ｘ
となる自然数ｘ，やはり３，が存在します。そこで，先の「３」と区別するために表現「−３」を導入します。そして「３」の方は改めて「＋３」と表現することにします。
「＋・−」を使うこの記数法では，「二つの差は互いに逆」という意識がはたらいています。