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「対称」の定義

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• 代数的な系（特に，数や量）に対しては，「対称」をつぎのように定義します：

「任意の要素ｘに対し，ｘ＋ｙ＝０となる要素ｙが存在する」
(「どの要素ｘも，ある要素ｙによって和の上で相殺される」)

• 「ｘを相殺するｙ」を「−ｘ」と書きます。
  このとき，
  ｘはｙを相殺するので，ｘは「−ｙ」。
  ｙは「−ｘ」なので，ｘは「−(−ｘ)」。
  等々
  
  
• 「０」は，

「任意の要素ｘに対し，ｘ＋ａ＝ｘ」

となる要素ａを意味します。つまり「加法＋に関して無為な要素」のことです。

このような要素は一つしかないことがわかります。──証明はすごく簡単：

ａとｂが「加法＋に関して無為な要素」ならば， ａ ＝ ↑ ｂは無為 ａ＋ｂ ＝ ↑ ａは無為 ｂ