Up モンティ・ホール (Monty Hall) 問題 作成: 2010-07-13
更新: 2020-01-06


  • 問題
      わたしは3枚のカードを,トランプの要領で,背面をあなたに向けてもっている。
      1枚には ○ が書いてあり,ほかの2枚には × が書いてある。
      あなたは,このうちの1枚をつまむ。
      それが〇なら,あなたの勝ちである。

      しかしこれだけではつまらないので,ちょっと趣向を凝らす。
      即ち,あなたに選ばれなかった2枚から,× のカードを1枚除く。
      こうして2枚になった。
      ここで,あなたは最初に選んだカードを別のカードに変えてもよい。
      変えるのと変えないのとでもし勝率が違ってくるのなら,あなたは勝率の高い方を選ぶべきである。
      さあどうする?

  • 自然な思い
      いまある2枚のカードは,○ と ×。変えても変えなくても,五分五分。

  • 答え
      変えた方が,○が当たりやすい。
      実際,変えないで ○が当たる確率は 1/3,そして変えて○が当たる確率は 2/3。

  • <自然な思い>は,どこを見過ごしているか?
    • 最初に選んだカードが○である確率は 1/3,× である確率は 2/3。
    • 最初に選んだカードが × のとき,カードを変えれば ○ になる。

  • 答えの説明
      最初に選んだカードは,○である確率が 1/3,そして × である確率が 2/3。
      カードを変えるやり方では,最初に × をとったときが ○ になる。 よって,カードを変えることで ○になる確率が 2/3。
      結局,カードを変えないことで○になる確率が1/3,カードを変えることで ○になる確率が 2/3。 カードを取り換える方が,○を当てやすい。

  • 解説
      確率問題を解く定石は,事象空間を書き出すこと。
      しかし,パラドックスは,ひっかけ/盲点をじょうずにつくることでパラドックスになっている。 事象空間の書き出しは,ひっかけ/盲点を上手に退け,問題構造を還元する作業になるが,これがはじめからできるくらいなら,それはパラドックスでもなんでもないわけである。
      実際,解答者は場面を直訳する格好で事象空間をつくろうとする。そして,間違う(註)

      「× のカードを除く」「カードを変える・変えない」は,事象空間の要素ではない。ここが要点である。

      事象空間は,単につぎのものである:
          最初に選んだカード
          ×1
          ×2

      そしてこの事象空間に対し,「変えないで○」──言い換え :「変えないで × (変えると○)」──の解釈を導入すると,つぎのようになる:
          最初に選んだカード変えないで○
          YES
          ×1NO
          ×2NO
        言い換え:
          最初に選んだカード 変えると○ 
          NO
          ×1YES
          ×2YES

      3つの場合のうち,変えないで○になるのは1つ,変えると○になるのは2つである。 よって,変えないで○になる確率は 1/3 で,変えると○になる確率は 2/3。


     註: 即ち,事象空間をつぎのようにつくってしまう:
        最初に選んだカード 除いたカード 変える・変えない 結果
        ×1 変えない
        変える ×2
        ×2 変えない
        変える ×1
        ×1 ×2 変えない ×1
        変える
        ×2 ×1 変えない ×2
        変える

        そしてこれに従えば,「変えても変えなくても五分五分」という結論になる。

    これの間違いはどこにある?
    独立事象でないものを独立事象にして数えているところにある。

    実際,この形式で事象空間をつくれるのは,ゲームのルールが「残りの2枚からxのカードを1枚除く」ではなく「残りの2枚から無作為にカードを1枚除く」の場合である:
        最初に選んだカード 除いたカード 変える・変えない 結果
        ×1 変えない
        変える ×2
        ×2 変えない
        変える ×1
        ×1 変えない ×1
        変える ×2
        ×2 変えない ×1
        変える
        ×2 変えない ×2
        変える ×1
        ×1 変えない ×2
        変える