- 問題
わたしは３枚のカードを，トランプの要領で，背面をあなたに向けてもっている。
１枚には ○ が書いてあり，ほかの２枚には × が書いてある。
あなたは，このうちの１枚をつまむ。
それが〇なら，あなたの勝ちである。
しかしこれだけではつまらないので，ちょっと趣向を凝らす。
即ち，あなたに選ばれなかった２枚から，× のカードを１枚除く。
こうして２枚になった。
ここで，あなたは最初に選んだカードを別のカードに変えてもよい。
変えるのと変えないのとでもし勝率が違ってくるのなら，あなたは勝率の高い方を選ぶべきである。
さあどうする？
- 自然な思い
いまある２枚のカードは，○ と ×。変えても変えなくても，五分五分。
- 答え
変えた方が，○が当たりやすい。
実際，変えないで ○が当たる確率は 1/3，そして変えて○が当たる確率は 2/3。
- ＜自然な思い＞は，どこを見過ごしているか？
- 最初に選んだカードが○である確率は 1/3，× である確率は 2/3。
- 最初に選んだカードが × のとき，カードを変えれば ○ になる。
- 答えの説明
最初に選んだカードは，○である確率が 1/3，そして × である確率が 2/3。
カードを変えるやり方では，最初に × をとったときが ○ になる。
よって，カードを変えることで ○になる確率が 2/3。
結局，カードを変えないことで○になる確率が1/3，カードを変えることで ○になる確率が 2/3。
カードを取り換える方が，○を当てやすい。
- 解説
確率問題を解く定石は，事象空間を書き出すこと。
しかし，パラドックスは，ひっかけ/盲点をじょうずにつくることでパラドックスになっている。
事象空間の書き出しは，ひっかけ/盲点を上手に退け，問題構造を還元する作業になるが，これがはじめからできるくらいなら，それはパラドックスでもなんでもないわけである。
実際，解答者は場面を直訳する格好で事象空間をつくろうとする。そして，間違う(註)。
「× のカードを除く」「カードを変える・変えない」は，事象空間の要素ではない。ここが要点である。
事象空間は，単につぎのものである：
そしてこの事象空間に対し，「変えないで○」──言い換え :「変えないで × (変えると○)」──の解釈を導入すると，つぎのようになる：
| 最初に選んだカード | 変えないで○ |
| ○ | YES |
| ×1 | NO |
| ×2 | NO |
言い換え：
| 最初に選んだカード | 変えると○ |
| ○ | NO |
| ×1 | YES |
| ×2 | YES |
３つの場合のうち，変えないで○になるのは１つ，変えると○になるのは２つである。
よって，変えないで○になる確率は 1/3 で，変えると○になる確率は 2/3。
| 註： |
即ち，事象空間をつぎのようにつくってしまう：
|
| 最初に選んだカード |
除いたカード |
変える・変えない |
結果 |
| ○ |
×1 |
変えない |
○ |
| 変える |
×2 |
| ×2 |
変えない |
○ |
| 変える |
×1 |
| ×1 |
×2 |
変えない |
×1 |
| 変える |
○ |
| ×2 |
×1 |
変えない |
×2 |
| 変える |
○ |
| |
そしてこれに従えば，「変えても変えなくても五分五分」という結論になる。
これの間違いはどこにある？
独立事象でないものを独立事象にして数えているところにある。
実際，この形式で事象空間をつくれるのは，ゲームのルールが「残りの２枚からｘのカードを１枚除く」ではなく「残りの２枚から無作為にカードを１枚除く」の場合である：
|
| 最初に選んだカード |
除いたカード |
変える・変えない |
結果 |
| ○ |
×1 |
変えない |
○ |
| 変える |
×2 |
| ×2 |
変えない |
○ |
| 変える |
×1 |
| ×1 |
○ |
変えない |
×1 |
| 変える |
×2 |
| ×2 |
変えない |
×1 |
| 変える |
○ |
| ×2 |
○ |
変えない |
×2 |
| 変える |
×1 |
| ×1 |
変えない |
×2 |
| 変える |
○ |
|