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アフィン写像の概念

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　（E,D,K),(E',D',K）を同一係数体上のアフィン空間とします。写像F:E─→E'は，条件：

任意のO Eに対し， f: OX F(O)F(X)； D ─→ D' は線型写像．

を満たすとき，アフィン写像と呼ばれる。
　線型写像fはO Eのとり方に依らずに一意に決まる^(註1)。fはアフィン写像Fに随伴すると言われる。
　アフィン写像F:E─→E'は，或る線型写像f:D─→D'に対し

F(X₊x)＝F(X)₊f(x)　（X E，x D)

が成り立つ写像と定義しても同じであり，そしてfも，Fに随伴する線型写像と一致する^(註2)。


（註１） O' Eに対し定義される線型写像：O'X'F(O')F(X')がfと一致することを示す。OX＝O'X'からF(O)F(X)＝F(O')F(X') が導かれることを言えばよい。
　先ず，OX＝O'X'とOX＋XX'＝OX'＝OO'＋O'X'よりXX'＝OO'。そして，



F(X')

＝F(O)+F(O)F(X') ＝F(O)+(f(XX')＋f(OX)) ＝(F(O)+f(OO'))+f(OX) ＝(F(O)+F(O)F(O'))+F(O)F(X） ＝F(O')+F(O)F(X）



即ち，F(O)F(X)＝F(O')F(X')。
（註２） O Eに対し，F(X)＝F(O₊OX)＝F(O)₊f(OX)，よって f(OX)＝F(O)F(X)。