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アフィン写像の例

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　算数･数学科で主題になる“図形”の“移動”や“変形”は，アフィン写像の概念を以って定式化できます。──逆に言えば，算数･数学科は,“移動”,“変形”のうち，アフィン写像の概念に定式化できるようなものを取り上げる。
　(E,D,）を２次元ユークリッド空間，(O;u,v）を正規直交基底｛u,v｝に対する枠，そしてX，Yをこの枠に対する二つの座標軸とします。以下,“図形”の“移動"・“変形”に対しての，アフィン写像F:E─→Eとそれに随伴する線型写像f:D─→Dによる解釈を示す。
　先ず，F(O)＝Oの場合の例から。

例１． Oのまわりの回転角θの回転は，fの表現行列が

の場合である：

例２． Oを通る直線Lに関する対称移動は，X軸に対するLの傾きがθのとき，Oのまわりの −θの回転と，X軸に関する対称移動と，Oのまわりのθの回転の合成になります。ここで，x軸に関する対称移動は，fの表現行列が

の場合である：

したがって，直線Lに関する対称移動は，fの表現行列が積

の場合です。

例３． Oを中心とする相似比κの相似拡大は，fの行列表現が

の場合である：

例４． 相似拡大は，X軸とY軸の両方向へのκ倍の拡大というように規定できるが，X軸方向はそのままにしてY軸方向のみをκ倍に拡大することを考えるとき,“ひずみ変換”の概念が起こる。これはfの表現行列が，

の場合である：

例５． 傾き1/κの直線の上にY軸をX軸に平行にずらす変換として,“ずらし変換”が定義されます。これは，fの表現行列が

の場合である：

　算数・数学科の教材には，以上の“移動”,“変形”の他に,“平行移動”が登場します。“平行移動”の場合には，条件“F(O)＝O”を外す。

例６． “平行移動”は，fが恒等写像の場合である：