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アフィン写像のイメージ

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　アフィン写像では，直線が保存されます。
　Lをアフィン空間（E,D,K）の中の直線として，Lの上の一点Aを固定します。Lは或るu D(“Lの方向ベクトル”)に対し，ξがK全体を動くときの点

X＝A₊u_×ξ

の全体と一致する：

　Fをアフィン空間（E,D,K）からアフィン空間（E',D',K）へのアフィン写像，fをFに随伴する線型写像とするとき，点X＝A₊u_×ξに対し，

F(X)＝F(A)₊f(u)_×ξ

よって，

L'＝{F(A)₊f(u)_×ξ｜ξ K}

が，FによるLの像。そしてf(u)≠0 ならば，L'は直線：

また，f(u)＝0 のときL'は点F(A)であり，FによってLが一点に“退化”していることになります。
　式F(X)＝F(A)₊f(u)_×ξ はまた，方向ベクトルuの直線がFによって方向ベクトルf(u）の直線にうつることを示している (但し，f(u)≠0 の場合)。したがって特に，Fが直線の平行関係を保存することが結論されます。
　さらに，直線LがFによって直線L'にうつるとき，L上の異なる三点A，B，Cに対し，

AB_×ξ＝AC F(A)F(B)_×ξ＝F(A)F(C)

即ち，

AB：AC＝F(A)F(B)：F(A)F(C)

となる^(註)。
　そこで以上の性質から，写像Fは，Eのアフィン枠（O;U1,････,Un）を成す点O,U1,････,Un (§3.3.4.1)がそれぞれどこにうつるかということで，捉えられるようになります。例えばｎ＝2 の場合，F(O),F(U1),F(U2）の定位

から，Fの表現(メッシュの写像として表わすことによるFの視覚化)：

が引き出せる。
　さらに，写像Fのこの図表示からは，Fの表現行列を直接得ることができます。また逆に，Fの表現行列からFの図表示が直接得られます。 実際,（E',D',K）に枠（O';V1,････,Vm）をとるとき，枠（O;U1,････,Un),（O';V1,････,Vm）に対するFの表現行列

とFの図表示は，つぎのような具合に対応している（ｎ＝ｍ＝2 の場合)：

O (0,	0) ─→ (	κ1		,	κ2		)
U1 (1,	0) ─→ (	κ1	＋	α11,			α21 )
U2 (0,	1) ─→ (			α21,	κ2	＋	α22 )

即ち，軸Xi上の目盛り1 の点がうつった先の点のｊ座標が，κj＋αij ということです。
　特に，O'としてF(O)をとれば，

(註)	F(A)F(B)×ξ＝f(AB)×ξ＝f(AB×ξ)＝f(AC)＝F(A)F(C)。