われわれは日常生活で，標高とか温度とか風力といった，高度・強度タイプの位を，場所に対応させて考える。
このことを，つぎのように捉える：
多様体 \(M\) の各点 \(\bf x\) にスカラー値 \(f(\bf x)\) を対応させる関数 \(f\) を立てる
\[ f : M \longrightarrow \mathbb{R}
\]
\(f(\bf x)\) は，\(M\) に関する情報である。
これを，地図帳の各ページ \(\phi\) に書き込むことにする。
この書き込みは，つぎの図式を可換にする関数 \( F_{\phi} \) ── 即ち，\( F_{\phi} = f \circ \phi^{-1}\) ──として表現される：
例えば \( F_{\phi}^{-1}(5) \) は，(\(f\) が連続の場合)「５度」の等高線である。
\(\phi\) に書き込まれた情報 \(f\) は，\(\phi\) と重なり部分をもつ \(\psi\) にも書き込まれている。
\(\phi\) と \(\psi\) の上の重複した情報── \( U_{\phi \psi} \) に関する情報──は，関数 \( \psi \circ \phi^{-1},\, \phi \circ \psi^{-1} \) を以て，互いに翻訳できる。
しかし，互いに翻訳できるといっても，つぎが成り立つのでなければ「地図帳」とは言えない：
\( U_{\phi \psi} \) における高度の変化の模様は，\( \phi\) で読んでも \( \psi\) で読んでも同じ
ここで，「\(C^r\) 級」が効いてくる。
実際，「\(C^r\) 級」は, 「高度の変化の模様は，\( \phi\) で読んでも \( \psi\) でも同じ」の条件である。
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