\(ｘ\in M\) における方向ベクトルは，
「\(ｘ\) を通る曲線 \(C\) の，\(ｘ\) における方向ベクトル」
として定義される。
| 註： |
「方向」の定義は，「曲線の方向」として定義するのみである。
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\(C\) を，パラメータ \(t\) を用いて \(C(t)\) と表す：
\[
C : [ -\epsilon, +\epsilon] \longrightarrow M \\
C( 0 ) = x
\]
| 註： |
曲線 \(C\) をパラメータで表すことは，必然である。
\(C\) に関する微分を立てるときは，結局 \(C(t)\) の形を要する。
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\(C(t)\) の定義には，自由度がある。
これは，同じコースを動く速さの自由度と対応している。
そしてこの「運動」のイメージにしたがうとき，方向ベクトルとは速度ベクトルのことである。
ところで，求めたいのは，「方向」である。
しかし，求めることになるのは「方向ベクトル」である。
なぜ「方向」ではなくて「方向ベクトル」かというと，方向をしめす形は矢印だからである。
矢印の柄の部分をとったら，方向の表示でなくなる。
しかし，速度が違えば異なる長さの柄を与えることになる。
「方向ベクトル」は一意には決まらないもの，というわけである。
| 註： |
一意にする方法は，「正規化」である──大きさが１のものを「方向ベクトル」と決める。
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以上のことに留意して，以下，「\(ｘ\) を通る曲線の，\(ｘ\) における方向ベクトル」を定義していく。
\(C\) を，\(ｘ\) を通る曲線とする :
\[
C : [ -\epsilon, +\epsilon] \longrightarrow M \\
C( 0 ) = x
\]
\( \phi \) を，「\( x \) を通る \(C\)」が描かれている地図の一つとする :
\[
{\phi}(x) \in {\phi}(C) \subset {\mathbb{R}}^n
\]
また，つぎのようにおく：
\[
{\bf x} = {\phi}(x) \\
{\bf C} = {\phi} \circ C : [ -\epsilon, +\epsilon] \longrightarrow {\mathbb{R}}^n
\]
そして，「\( x \) における \( C\) の方向ベクトル \( {\bf v}_{C,\phi} \)」をつぎのように定義する：
\[
\begin{align*}
{\bf v}_{C,\phi}
&= \frac{d{\bf C}}{dt}(0) = \lim_{{\Delta t} \to 0} \frac{ {\bf C}(0 + \Delta t) - {\bf C}(0)}{\Delta t} \\
&= \lim_{{\Delta t} \to 0} \frac{ {\bf C}(\Delta t) - {\bf C}(0)}{\Delta t}
\end{align*}
\]
「\( x \) における \( C\) の方向ベクトル」は，地図に依存する：
しかし，地図 \( \phi,\, \psi \) の重複部分は，\( C^r \) 級の座標変換 \( \psi \circ \phi^{-1},\, \phi \circ \psi^{-1} \) で対応している。
この座標変換によって，二つの地図の「\( x \) における \( C\) の方向ベクトル」構造は，同型に対応する。
これは，「\( x \) における \( C\) の方向ベクトル」は，一つの地図の上で考えれば十分，ということを意味する。
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