「曲線の接線」の次元を一つ上げると，「曲面の接平面」になる。
「曲線の接線」の概念は，つぎを含意している：
「曲線は局所的に直線──部分を拡大するほどに直線に近づく」
「曲面の接平面」の概念は，つぎを含意している：
「曲面は局所的に平面──部分を拡大するほどに平面に近づく」
| 註 : |
「なめらか」を分析的に表すと，「局所的に直線/平面」となる。
いまは「曲線・曲面」のことばを，「なめらかな曲線・曲面」の意味で用いているわけである。
|
曲面の接平面を特定することばは，「点 \(x\) における接平面」である。
点 \(x\) における接平面 \(P\) は，つぎの特徴をもつ：
\(ｘ\) を通る任意の曲線 \(C\) は，\(ｘ\) におけるこれの接線が \(P\) に含まれる
翻って，これが「接平面」を定義するときの形になる。
即ち，つぎを定理として証明する：
点 \(ｘ\) に対し，つぎの条件を満たす平面 \(P\) が存在し，且つただ一つ存在する：
\(ｘ\) を通る任意の曲線は，
\(ｘ\) におけるこれの接線が \(P\) に含まれる
そして，\(P\) を「\(ｘ\) における接平面」と呼ぶ。
|