Up 接ベクトル空間の定義 作成: 2018-01-17
更新: 2018-01-17


    \(x\in M\) における「方向ベクトル」を,\(x\) が現れる地図 \(\phi\) を任意に択り, つぎの \({\bf v}_{C,\phi}\) として定義した:
      \[ C : [ -\epsilon, +\epsilon] \longrightarrow M \\ C( 0 ) = x \\ {\bf x} = {\phi}(x) \\ {\bf C} = {\phi} \circ C : [ -\epsilon, +\epsilon] \longrightarrow {\mathbb{R}}^n \\ {\bf v}_{C,\phi} = \lim_{{\Delta t} \to 0} \frac{ {\bf C}(\Delta t) - {\bf C}(0)}{\Delta t} \]

    ここで,\(C\) を<\(x\) を通る曲線全体>に亘らせたときの,\( {\bf v}_{C,\phi} \) 全体を考える。
    これは,\( \mathbb{R}^n \) の部分ベクトル空間になる。

    さらに,このベクトル空間は,\(C^r\) 級座標変換を以て,地図 \(\phi\) によらない。
    そこでこれを \(T(x)\) で表し, 「\(M\) の \(x\) における接ベクトル空間」と呼ぶ。