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接ベクトル空間の定義

作成: 2018-01-17 更新: 2018-01-17

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\(ｘ\in M\) における「方向ベクトル」を，\(x\) が現れる地図 \(\phi\) を任意に択り, つぎの \({\bf v}_{C,\phi}\) として定義した： \[ C : [ -\epsilon, +\epsilon] \longrightarrow M \\ C( 0 ) = x \\ {\bf x} = {\phi}(x) \\ {\bf C} = {\phi} \circ C : [ -\epsilon, +\epsilon] \longrightarrow {\mathbb{R}}^n \\ {\bf v}_{C,\phi} = \lim_{{\Delta t} \to 0} \frac{ {\bf C}(\Delta t) - {\bf C}(0)}{\Delta t} \] ここで，\(C\) を＜\(ｘ\) を通る曲線全体＞に亘らせたときの，\( {\bf v}_{C,\phi} \) 全体を考える。 これは，\( \mathbb{R}^n \) の部分ベクトル空間になる。 さらに，このベクトル空間は，\(C^r\) 級座標変換を以て，地図 \(\phi\) によらない。 そこでこれを \(T(x)\) で表し, 「\(M\) の \(ｘ\) における接ベクトル空間」と呼ぶ。