Up 共変座標 作成: 2018-03-09
更新: 2018-03-09


    ここでは,「共変座標」の概念を導入する。


    つぎを,デカルト座標の2つの基底とする: \[ {\bf E} = \{ {\bf E}_1,\, \cdots,\, {\bf E}_n \} \\{\bf E'} = \{ {\bf E'}_1,\, \cdots,\, {\bf E'}_n \} \] そして,これに対する座標を,それぞれ \(X^i,\, {X'}^i\) 座標と呼ぶ。
    つぎを,それぞれ \(X^i,\, {X'}^i\) 座標に伴う曲線座標の基底──局所直線基底──とする: \[ {\bf e} = \{ {\bf e}_1,\, \cdots,\, {\bf e}_n \} \\{\bf e'} = \{ {\bf e'}_1,\, \cdots,\, {\bf e'}_n \} \] そして,これに対する座標を,それぞれ \(x^i,\, {x'}^i\) 座標と呼ぶ。

    これらの間には,つぎの関係が成り立つ:
      \[ ( {\bf E'}_1\, \cdots\, {\bf E'}_n ) = ( {\bf E}_1\, \cdots\, {\bf E}_n ) \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial {X}^1}{\partial {X'}^1} & \cdots & \frac{\partial {X}^1}{\partial {X'}^n} \\ & \cdots & \\ \frac{\partial {X}^n}{\partial {X'}^1} & \cdots & \frac{\partial {X}^n}{\partial {X'}^n} \\ \end{array} \right) \\ \\ ( {\bf e'}_1\, \cdots\, {\bf e'}_n ) = ( {\bf e}_1\, \cdots\, {\bf e}_n ) \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial {x}^1}{\partial {x'}^1} & \cdots & \frac{\partial {x}^1}{\partial {x'}^n} \\ & \cdots & \\ \frac{\partial {x}^n}{\partial {x'}^1} & \cdots & \frac{\partial {x}^n}{\partial {x'}^n} \\ \end{array} \right) \]


    つぎは,\( \phi_P\) 上での ベクトル \(\bf A\) の平行移動 \( P \to P'\) を,\( \phi_P'\) から読み込んだものである。

(図中の \(\bf A\) は, \(\phi_P\) での \(A\) を, そのデカルト座標を以て, \(\phi_P'\) で再現したもの)
    またつぎは,デカルト座標の基底を変換したものである:

    デカルト座標とこれに伴う曲線座標のそれぞれに対する \(\bf a\) の座標を,つぎのように定める:
      \(A_i = {\bf a} \cdot {\bf E}_i \):\({\bf E}\) に対する座標
      \(A'_1 = {\bf a} \cdot {\bf E'}_i \):\({\bf E'}\) に対する座標
      \(a_1 = {\bf a} \cdot {\bf e}_i \):\({\bf e}\) に対する座標
      \(a'_1 = {\bf a} \cdot {\bf e'}_i \):\({\bf e'}\) に対する座標

    ここで,座標の表記が,添字が下付けになっている。
    理由は,これらの座標が「基底変換と共変」と特徴づけられるものになるからである。
    このことを,以下に示す。


    (1) \({\bf E} \to {\bf E'}\) に対する \( A_i \to A'_i \)

    このとき \[ \begin{align*} A'_i &= {\bf a} \cdot {\bf E'}_i = {\bf a} \cdot \sum_j \frac{\partial {X}^i}{\partial {X'}^j}\, {\bf E}_j = \sum_j \frac{\partial {X}^i}{\partial {X'}^j}\, {\bf a} \cdot {\bf E}_j \\&= \sum_j \frac{\partial {X}^i}{\partial {X'}^j}\, A_j \end{align*} \] 即ち,\({\bf E} \to {\bf E'}\) :
      \[ ( {\bf E'}_1\, \cdots\, {\bf E'}_n ) = ( {\bf E}_1\, \cdots\, {\bf E}_n ) \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial {X}^1}{\partial {X'}^1} & \cdots & \frac{\partial {X}^1}{\partial {X'}^n} \\ & \cdots & \\ \frac{\partial {X}^n}{\partial {X'}^1} & \cdots & \frac{\partial {X}^n}{\partial {X'}^n} \\ \end{array} \right) \]
    と \( A_i \to A'_i \) :
      \[ ( {A’}_1\, \cdots\, {A’}_n ) = ( A_1\, \cdots\, A_n ) \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial {X}^1}{\partial {X'}^1} & \cdots & \frac{\partial {X}^1}{\partial {X'}^n} \\ & \cdots & \\ \frac{\partial {X}^n}{\partial {X'}^1} & \cdots & \frac{\partial {X}^n}{\partial {X'}^n} \\ \end{array} \right) \]
    が共変である。



    (2) \({\bf E} \to {\bf E'}\) に対する \( a_i \to a'_i \)

    \({\bf E} \to {\bf E'}\) には \({\bf e} \to {\bf e'}\) が随う。
    そしてこのとき, \[ \begin{align*} a'_i &= {\bf a} \cdot {\bf e'}_i = {\bf a} \cdot \sum_j \frac{\partial {x}^i}{\partial {x'}^j}\, {\bf e}_j = \sum_j \frac{\partial {x}^i}{\partial {x'}^j}\, {\bf a} \cdot {\bf e}_j \\&= \sum_j \frac{\partial {x}^i}{\partial {x'}^j}\, a_j \end{align*} \] 即ち, \({\bf e} \to {\bf e'}\)
      \[ ( {\bf e'}_1\, \cdots\, {\bf e'}_n ) = ( {\bf e}_1\, \cdots\, {\bf e}_n ) \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial {x}^1}{\partial {x'}^1} & \cdots & \frac{\partial {x}^1}{\partial {x'}^n} \\ & \cdots & \\ \frac{\partial {x}^n}{\partial {x'}^1} & \cdots & \frac{\partial {x}^n}{\partial {x'}^n} \\ \end{array} \right) \]
    と \( a_i \to a'_i \) :
      \[ ( {a’}_1\, \cdots\, {a’}_n ) = ( a_1\, \cdots\, a_n ) \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial {x}^1}{\partial {x'}^1} & \cdots & \frac{\partial {x}^1}{\partial {x'}^n} \\ & \cdots & \\ \frac{\partial {x}^n}{\partial {x'}^1} & \cdots & \frac{\partial {x}^n}{\partial {x'}^n} \\ \end{array} \right) \]
    が共変である。