地図のデカルト座標を，Xi 座標と称する。
この基底を，
E={E1,⋯,En}
とする。
曲線座標を，xi 座標と呼ぶ。
この基底──局所直線基底──を，
e={e1,⋯,en}
とする
つぎを，この２つの基底の変換式とする：
(e1⋯en)=(E1⋯En)(κ11⋯κ1n⋯κn1⋯κnn)
行列 (κij) は，つぎのように座標の変換行列になる：
(X1⋮Xn)=(κ11⋯κ1n⋯κn1⋯κnn)(x1⋮xn)
このとき，
Xi=∑kκikxk⟹∂Xi∂xj=∑kκik∂xk∂xj=∑kκikδkj=κij
結局，つぎのようになる：
(e1⋯en)=(E1⋯En)(∂X1∂x1⋯∂X1∂xn⋯∂Xn∂x1⋯∂Xn∂xn) (X1⋮Xn)=(∂X1∂x1⋯∂X1∂xn⋯∂Xn∂x1⋯∂Xn∂xn)(x1⋮xn)
さらに
(E1⋯En)=(e1⋯en)(∂x1∂X1⋯∂x1∂Xn⋯∂xn∂X1⋯∂xn∂Xn) (x1⋮xn)=(∂x1∂X1⋯∂x1∂Xn⋯∂xn∂X1⋯∂xn∂Xn)(X1⋮Xn)
つぎを，E の基底変換とする：
(E′1⋯E′n)=(E1⋯En)(γ11⋯γ1n⋯γn1⋯γnn)
基底
に対応する座標を X′i 座標と呼ぶ。
行列 (γij) は，つぎのように座標の変換行列になる：
(X1⋮Xn)=(γ11⋯γ1n⋯γn1⋯γnn)(X′1⋮X′n)
このとき，
Xi=∑kγikX′k⟹∂Xi∂X′j=∑kγik∂X′k∂X′j=∑kγikδkj=γij
結局，つぎのようになる：
(E′1⋯E′n)=(E1⋯En)(∂X1∂X′1⋯∂X1∂X′n⋯∂Xn∂X′1⋯∂Xn∂X′n) (X1⋮Xn)=(∂X1∂X′1⋯∂X1∂X′n⋯∂Xn∂X′1⋯∂Xn∂X′n)(X′1⋮X′n)
さらに
(E1⋯En)=(E′1⋯E′n)(∂X′1∂X1⋯∂X′1∂Xn⋯∂X′n∂X1⋯∂X′n∂Xn) (X′1⋮X′n)=(∂X′1∂X1⋯∂X′1∂Xn⋯∂X′n∂X1⋯∂X′n∂Xn)(X1⋮Xn)
曲線座標はデカルト座標に固定されている格好にある。
X′i 座標に伴う曲線座標を，x′i 座標と呼び，これの基底──局所直線基底──を，
とする。
よって，
(e′1⋯e′n)=(E′1⋯E′n)(∂X′1∂x′1⋯∂X′1∂x′n⋯∂X′n∂x′1⋯∂X′n∂x′n) (X′1⋮X′n)=(∂X′1∂x′1⋯∂X′1∂x′n⋯∂X′n∂x′1⋯∂X′n∂x′n)(x′1⋮x′n) (x′1⋮x′n)=(∂x′1∂X′1⋯∂x′1∂X′n⋯∂x′n∂X′1⋯∂x′n∂X′n)(X′1⋮X′n)
そしてこれより，
(e′1⋯e′n)=(E′1⋯E′n)(∂X′1∂x′1⋯∂X′1∂x′n⋯∂X′n∂x′1⋯∂X′n∂x′n)=(E1⋯En)(∂X1∂X′1⋯∂X1∂X′n⋯∂Xn∂X′1⋯∂Xn∂X′n)(∂X′1∂x′1⋯∂X′1∂x′n⋯∂X′n∂x′1⋯∂X′n∂x′n)=(e1⋯en)(∂x1∂X1⋯∂x1∂Xn⋯∂xn∂X1⋯∂xn∂Xn)(∑k∂X1∂X′k∂X′k∂x′1⋯∑k∂X1∂X′k∂X′k∂x′n⋯∑k∂Xn∂X′k∂X′k∂x′1⋯∑k∂Xn∂X′k∂X′k∂x′n)=(e1⋯en)(∂x1∂X1⋯∂x1∂Xn⋯∂xn∂X1⋯∂xn∂Xn)(∂X1∂x′1⋯∂X1∂x′n⋯∂Xn∂x′1⋯∂Xn∂x′n)=(e1⋯en)(∑k∂x1∂Xk∂Xk∂x′1⋯∑k∂x1∂Xk∂Xk∂x′n⋯∑k∂xn∂Xk∂Xk∂x′1⋯∑k∂xn∂Xk∂Xk∂x′n)=(e1⋯en)(∂x1∂x′1⋯∂x1∂x′n⋯∂xn∂x′1⋯∂xn∂x′n)
(x1⋮xn)=(∂x1∂x′1⋯∂x1∂x′n⋯∂xn∂x′1⋯∂xn∂x′n)(x′1⋮x′n)
(x′1⋮x′n)=(∂x′1∂x1⋯∂x′1∂xn⋯∂x′n∂x1⋯∂x′n∂xn)(x1⋮xn)
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