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Up デカルト座標の変換 作成: 2018-03-09
更新: 2018-03-09


    地図のデカルト座標を,Xi 座標と称する。
    この基底を, E={E1,,En} とする。
    曲線座標を,xi 座標と呼ぶ。
    この基底──局所直線基底──を, e={e1,,en} とする

    つぎを,この2つの基底の変換式とする:
      (e1en)=(E1En)(κ11κ1nκn1κnn)
    行列 (κij) は,つぎのように座標の変換行列になる:
      (X1Xn)=(κ11κ1nκn1κnn)(x1xn)
    このとき,
      Xi=kκikxkXixj=kκikxkxj=kκikδkj=κij
    結局,つぎのようになる:
      (e1en)=(E1En)(X1x1X1xnXnx1Xnxn) (X1Xn)=(X1x1X1xnXnx1Xnxn)(x1xn)

    さらに
      (E1En)=(e1en)(x1X1x1XnxnX1xnXn) (x1xn)=(x1X1x1XnxnX1xnXn)(X1Xn)


    つぎを,E の基底変換とする:
      (E1En)=(E1En)(γ11γ1nγn1γnn)
    基底
      E={E1En}
    に対応する座標を Xi 座標と呼ぶ。

    行列 (γij) は,つぎのように座標の変換行列になる:
      (X1Xn)=(γ11γ1nγn1γnn)(X1Xn)
    このとき,
      Xi=kγikXkXiXj=kγikXkXj=kγikδkj=γij
    結局,つぎのようになる:
      (E1En)=(E1En)(X1X1X1XnXnX1XnXn) (X1Xn)=(X1X1X1XnXnX1XnXn)(X1Xn)

    さらに
      (E1En)=(E1En)(X1X1X1XnXnX1XnXn) (X1Xn)=(X1X1X1XnXnX1XnXn)(X1Xn)


    曲線座標はデカルト座標に固定されている格好にある。
    Xi 座標に伴う曲線座標を,xi 座標と呼び,これの基底──局所直線基底──を,
      e={e1en}
    とする。

    よって,
      (e1en)=(E1En)(X1x1X1xnXnx1Xnxn) (X1Xn)=(X1x1X1xnXnx1Xnxn)(x1xn) (x1xn)=(x1X1x1XnxnX1xnXn)(X1Xn)
    そしてこれより, (e1en)=(E1En)(X1x1X1xnXnx1Xnxn)=(E1En)(X1X1X1XnXnX1XnXn)(X1x1X1xnXnx1Xnxn)=(e1en)(x1X1x1XnxnX1xnXn)(kX1XkXkx1kX1XkXkxnkXnXkXkx1kXnXkXkxn)=(e1en)(x1X1x1XnxnX1xnXn)(X1x1X1xnXnx1Xnxn)=(e1en)(kx1XkXkx1kx1XkXkxnkxnXkXkx1kxnXkXkxn)=(e1en)(x1x1x1xnxnx1xnxn)
    (x1xn)=(x1x1x1xnxnx1xnxn)(x1xn) (x1xn)=(x1x1x1xnxnx1xnxn)(x1xn)