Up 定ベクトルの場合 作成: 2018-01-09
更新: 2018-01-12


    関数 \( \bf A\) が定値であるとき,\( \bf A(x) \) の共変微分は,\( \bf x \) での座標に依らず 0 である。
    このことを,以下に示す。


    デカルト座標 \( (X^i) \) による \( {\bf A}({\bf x}) \) の座標を, \[ ( A_1({\bf x}),\, \cdots,\, A_n({\bf x}) ) \] とする。

    \( A_i({\bf x}) \) は定値だから,
      \[ \frac{\partial A_i({\bf x})}{\partial X^j} = 0 \]
    よって, \[ \begin{align*} {\nabla}_j A_i({\bf x}) &= \frac{\partial A_i({\bf x})}{\partial X^j} - \Gamma^{t}_{ij} \ A_t({\bf x}) \\ &= \frac{\partial A_i({\bf x})}{\partial X^j} - \frac{\partial^2 X^k}{\partial X^i \partial X^j} \frac{\partial X^t}{\partial X^k} \ A_t({\bf x}) \\ &= 0 \ - \ 0 \ \frac{\partial X^t}{\partial X^k} \ A_t({\bf x}) \\ &= 0 \end{align*} \]

    \( (x^i) \) 座標による \( {\bf A}({\bf x}) \) の座標を, \[ ( a_1({\bf x}),\, \cdots,\, a_n({\bf x}) ) \] とする。

    \( {\bf e}({\bf x}) = ( {\bf e}_1({\bf x}),\, \cdots,\, {\bf e}_n({\bf x}) )\) の各 \({\bf e}_i({\bf x}) \) のデカルト座標が \[ (e_i^{\ 1}({\bf x}),\, \cdots \, e_i^{\ n}({\bf x}) ) = \left( \frac{\partial X^1}{\partial x^i}({\bf x}),\, \cdots \, \frac{\partial X^n}{\partial x^i}({\bf x}) \right) \] であることから,つぎが導かれる: \[ a_i = \frac{\partial X^j}{\partial x^i} A_j \\ \left( \begin{array}{c} a^1 \\ \vdots \\ a^n \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial X^1}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial X^n}{\partial x^1} \\ & \cdots & \\ \frac{\partial X^1}{\partial x^n} & \cdots & \frac{\partial X^n}{\partial x^n} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} A^1 \\ \vdots \\ A^n \\ \end{array} \right) \\ \ \\ A_i = \frac{\partial x^j}{\partial X^i} a_j \\ \left( \begin{array}{c} A^1 \\ \vdots \\ A^n \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial x^1}{\partial X^1} & \cdots & \frac{\partial x^n}{\partial X^1} \\ & \cdots & \\ \frac{\partial x^1}{\partial X^n} & \cdots & \frac{\partial x^n}{\partial X^n} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a^1 \\ \vdots \\ a^n \\ \end{array} \right) \]
    そこで, \[ \begin{align*} \frac{\partial a_i({\bf x})}{\partial x^j} \ &=\ \frac{\partial }{\partial x^j} a_i \ =\ \frac{\partial }{\partial x^j} \left( \frac{\partial X^k}{\partial x^i} A_k \right) \\ &=\ \frac{\partial^2 X^k}{ \partial x^i \partial x^j} A_k \ +\ \frac{\partial X^k}{\partial x^i} \frac{\partial A_k}{\partial x^j} \\ &=\ \frac{\partial^2 X^k}{ \partial x^i \partial x^j} \left( \frac{\partial x^t}{\partial X^k} a_t \right) \ +\ \frac{\partial X^k}{\partial x^i} \ 0 \\ &=\ \left( \frac{\partial^2 X^k}{ \partial x^i \partial x^j} \frac{\partial x^t}{\partial X^k} \right) a_t \\ &=\ \Gamma^{t}_{ij} \ a_t({\bf x}) \end{align*} \] よって, \[ \begin{align*} {\nabla}_j a_i({\bf x}) &= \frac{\partial a_i({\bf x})}{\partial x^j} - \Gamma^{t}_{ij} \ a_t({\bf x}) \\ &= 0 \end{align*} \]

    「\( \bf A\) が定値のとき \( {\nabla}_j a_i({\bf x}) = 0 \)」は,「\(\Gamma^{t}_{ij}\)」の定義の必然である。
    実際,「\(\Gamma^{t}_{ij}\)」は,つぎの文脈で導入されたのであった ( 「平行移動」): \[ 「下駄の高さ」\\ = {\bf A}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i({\bf x}+d{\bf x}) - a_i({\bf x}) \\ = \left( \sum_{k} \Gamma^{t}_{ik} \ dx^k \right) a_t({\bf x}) \] これより, \[ \frac{\partial ({\bf A}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i({\bf x}+d{\bf x}) - a_i({\bf x}))}{\partial x^j} = \left( \sum_{k} \Gamma^{t}_{ik} \frac{\partial x^k}{\partial x^j} \right) a_t({\bf x})\\ \] \( \bf A\) が定値だから,左辺は \[ = \frac{\partial ({\bf A}({{\bf x}+d{\bf x}}) \cdot {\bf e}_i({\bf x}+d{\bf x}) - a_i({\bf x}))} {\partial x^j} \\ = \frac{\partial (a_i({{\bf x}+d{\bf x}}) - a_i({\bf x}))} {\partial x^j} \\ = \frac{\partial a_i({\bf x})}{\partial x^j} \] また,右辺は \[ = \Gamma^{t}_{ij} a_t({\bf x})) \] よって, \[ {\nabla}_j a_i({\bf x}) = \frac{\partial a_i({\bf x})}{\partial x^j} - \Gamma^{t}_{ij} \ a_t({\bf x}) = (左辺) - (右辺) = 0 \]