Up 直線座標の場合 作成: 2018-01-11
更新: 2018-01-11


    座標 \( (x^i) \) が直線座標の場合,\( {\bf e}({\bf x}) = ( {\bf e}_1({\bf x}),\, \cdots,\, {\bf e}_n({\bf x}) )\) の各 \({\bf e}_i({\bf x}) \) のデカルト座標 \[ (e_i^{\ 1}({\bf x}),\, \cdots \, e_i^{\ n}({\bf x}) ) = \left( \frac{\partial X^1}{\partial x^i}({\bf x}),\, \cdots \, \frac{\partial X^n}{\partial x^i}({\bf x}) \right) \] は,すべての項が定数である:
      \[ \frac{\partial X^j}{\partial x^i}({\bf x}) = \xi^j_i \]

    したがって, \[ \Gamma^{t}_{ij} = \frac{\partial^2 X^k}{\partial x^i \partial x^j} \frac{\partial x^t}{\partial X^k} = 0 \\ \ \\ \begin{align*} {\nabla}_j a_i({\bf x}) &= \frac{\partial a_i({\bf x})}{\partial x^j} - \sum_{t}\Gamma^{t}_{ij} \ a_t({\bf x}) \\ &= \frac{\partial a_i({\bf x})}{\partial x^j} \end{align*} \]