Up 曲率 \( R^i_{jkl} \) 作成: 2018-01-12
更新: 2018-01-13


    点 \(P(\bf x)\) に,ベクトル \( \bf A \) を立てる。
    これの座標 \(x^i\) 座標を, \[ ( a_1,\, \cdots,\, a_n ) \] とする。──即ち, \[ a_i = {\bf A} \cdot {\bf e}_i({\bf x}) \]
    \( \bf A \) を,平行移動でつぎの経路を一周させる: \[ P \begin{array}{c} +(dx^i) \\ \longrightarrow \\ \\ \end{array} Q \begin{array}{c} +(y^i) \\ \longrightarrow \\ \\ \end{array} R \begin{array}{c} -(dx^i) \\ \longrightarrow \\ \\ \end{array} S \begin{array}{c} -(y^i) \\ \longrightarrow \\ \\ \end{array} P \] 点 \(P,\,Q,\,R,\,S \) での \( \bf A \) の座標──基底 \( {\bf e}({\bf x}) = ({\bf e}_1({\bf x}), \cdots, {\bf e}_n({\bf x})) \) に対する座標──を,つぎのように表す: \[ ( a_1(P),\, \cdots,\, a_n(P) ) = ( a_1,\, \cdots,\, a_n ) \\ ( a_1(Q),\, \cdots,\, a_n(Q) ) \\ ( a_1(R),\, \cdots,\, a_n(R) ) \\ ( a_1(S),\, \cdots,\, a_n(S) ) \]
    (1) \( P \rightarrow Q \)
    \[ \begin{align*} a_i(Q)\ =\ a_i(P)\ +\ \Gamma^{k}_{ij}(P)\ a_k(P)\ dx^j \end{align*} \]
      ここで, \(\Gamma^{k}_{ij}\) の値が場所に依存するので,\(\Gamma^{k}_{ij}(P) \) と表した。 ──以下,同様。


    (2) \( Q \rightarrow R \)
       ( EMANの物理学 (「リーマン曲率」) から拝借):
    \[ \begin{align*} a_i(R)\ &=\ a_i(Q)\ +\ \Gamma^{m}_{in}(Q)\ a_m(Q)\ dy^n \\ &=\ \left( a_i(P)\ +\ \Gamma^{k}_{ij}(P)\ a_k(P)\ dx^j \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ +\ \Gamma^{m}_{in}(Q)\ \left( a_m(P) + \Gamma^{k}_{mj}(P)\ a_k(P)\ dx^j \right) dy^n \\ & \approx \ a_i(P)\ +\ \Gamma^{k}_{ij}(P)\ a_k(P)\ dx^j \\ & \ \ \ \ +\ \left( \Gamma^{m}_{in}(P) + \frac{\partial \Gamma^{m}_{in}(P)}{\partial x^p} dx^p \right) \left( a_m(P) + \Gamma^{k}_{mj}(P) a_k(P) dx^j \right) dy^n \\[6pt] & (\ (P)\,を省略 \ ) \\[6pt] &=\ a_i\ +\ \Gamma^{k}_{ij} a_k dx^j \\ & \ \ \ \ +\ \Gamma^{m}_{in} a_m dy^n\ +\ \Gamma^{m}_{in} \Gamma^{k}_{mj} a_k dx^j dy^n \\ & \ \ \ \ +\ \frac{\partial \Gamma^{m}_{in}}{\partial x^p} dx^p a_m dy^n \ +\ \frac{\partial \Gamma^{m}_{in}}{\partial x^p} dx^p \Gamma^{k}_{mj} a_k dx^j dy^n \\ &=\ a_i \ +\ \Gamma^{k}_{ij} a_k dx^j\ +\ \Gamma^{m}_{in} a_m dy^n \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \Gamma^{m}_{in} \Gamma^{k}_{mj} a_k dx^j dy^n \ +\ \frac{\partial \Gamma^{m}_{in}}{\partial x^p} a_m dx^p dy^n \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \frac{\partial \Gamma^{m}_{in}}{\partial x^p} \Gamma^{k}_{mj} a_k dx^j dy^n dx^p \\[6pt] & (\ 最後の項は微小量3次なので,捨てる \ ) \\[6pt] &\approx\ a_i \ +\ \Gamma^{k}_{ij} a_k dx^j\ +\ \Gamma^{m}_{in} a_m dy^n \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \left( \Gamma^{m}_{in} \Gamma^{k}_{mj} a_k\ +\ \frac{\partial \Gamma^{m}_{in}}{\partial x^j} a_m \right) dx^j dy^n \\[6pt] &=\ a_i \ +\ \Gamma^{k}_{ij} a_k dx^j\ +\ \Gamma^{m}_{in} a_m dy^n \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \left( \Gamma^{m}_{in} \Gamma^{k}_{mj}\ +\ \frac{\partial \Gamma^{k}_{in}}{\partial x^j} \right) a_k dx^j dy^n \end{align*} \]
    (3) \( R \rightarrow S \rightarrow P \)
    この経路を, 「\( - (P \rightarrow S \rightarrow R) \)」と見る。
    経路「\( P \rightarrow S \rightarrow R \)」での \(a_i(R)\) の式── \(a'_i(R)\) と表す──は,経路「\( P \rightarrow Q \rightarrow R \)」での \(a_i(R)\) の式の \( dx,\,dy \) の記号を入れ替えたものになる:
    \[ \begin{align*} a'_i(R)\ &=\ a_i \ +\ \Gamma^{k}_{ij} a_k dy^j + \Gamma^{m}_{in} a_m dx^n \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\ \left( \Gamma^{m}_{in} \Gamma^{k}_{mj}\ +\ \frac{\partial \Gamma^{k}_{in}}{\partial x^j} \right) a_k dy^j dx^n \end{align*} \]

    よって,「\( P \rightarrow Q \rightarrow R \rightarrow S \rightarrow P \)」と一周したときの座標の変化は: \[ \begin{align*} &a_i(R) - a'_i(R) \\[6pt] & \ \ \ \ \ =\ \left( \Gamma^{m}_{in} \Gamma^{k}_{mj}\ +\ \frac{\partial \Gamma^{k}_{in}}{\partial x^j} \right) a_k dx^j dy^n \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \left( \Gamma^{m}_{in} \Gamma^{k}_{mj}\ +\ \frac{\partial \Gamma^{k}_{in}}{\partial x^j} \right) a_k dy^j dx^n \\[6pt] &\ \ \ \ \ =\ \left( \Gamma^{m}_{in} \Gamma^{k}_{mj}\ +\ \frac{\partial \Gamma^{k}_{in}}{\partial x^j} \right) a_k dx^j dy^n \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \left( \Gamma^{m}_{ij} \Gamma^{k}_{mn}\ +\ \frac{\partial \Gamma^{k}_{ij}}{\partial x^n} \right) a_k dy^n dx^j \\[6pt] &\ \ \ \ \ =\ \left( \Gamma^{m}_{in} \Gamma^{k}_{mj}\ +\ \frac{\partial \Gamma^{k}_{in}}{\partial x^j} \ -\ \Gamma^{m}_{ij} \Gamma^{k}_{mn}\ -\ \frac{\partial \Gamma^{k}_{ij}}{\partial x^n} \right) a_k dx^j dy^n \end{align*} \] ここで「\( a_k\, dx\, dy \)」を「経路が囲む面積」と見立てると,これを除した残りの
      \[ \Gamma^{m}_{in} \Gamma^{k}_{mj}\ +\ \frac{\partial \Gamma^{k}_{in}}{\partial x^j} \ -\ \Gamma^{m}_{ij} \Gamma^{k}_{mn}\ -\ \frac{\partial \Gamma^{k}_{ij}}{\partial x^n} \]
    は,「単位当たり面積」ということになる。
    身分として「率」である。

    この「率」を「曲率」と見なし,「リーマン曲率」と呼ぶ。
    そして,\( R^k_{\ i,jn} \) と表す: \[ \begin{align*} R^i_{\ j,kl} \ =\ \frac{\partial \Gamma^{i}_{jl} }{\partial x^k}\ -\ \frac{\partial \Gamma^{i}_{jk}}{\partial x^l} \ +\ \Gamma^{m}_{jl} \Gamma^{i}_{mk}\ -\ \Gamma^{m}_{jk} \Gamma^{i}_{ml} \end{align*} \]