「リーマン多様体の曲率」というものを考える。
さて，これはどんなふうに定義できるものになるか？
リーマン多様体の曲率は，「リーマン多様体 \( M\) の点 \( P \) における曲率」として定義する。
地図 \( \phi_P \) の上で，ベクトル \( \bf A \) をとる。
これを，\( P \) を出発点にして，地図を接ぎつつ，平行移動
（  「平行移動」）
で単純曲線を一周させる：
- 地図 \( \phi_P \) 上で，\( \bf A \) を \( P \) から微小移動する。
- 移動先 \( P_1 \) の地図 \( \phi_{P_1} \) を開き, \( \phi_P \) を読み込む。
\( \bf A \) の像のベクトルを，\( {\bf a}_1 \) とする。
\( \phi_{P_1} \) 上で\( {\bf a}_1 \) を微小移動する。
- 移動先 \( P_2 \) の地図 \( \phi_{P_2} \) を開き, \( \phi_{P_1} \) を読み込む。
そして上と同様のことをする。
- この手順を繰り返して，最後の点 \( P_n \) から \( P \) に戻る。
\( \phi_{P} \) を開き，\( \phi_{P_n} \) を読み込む。
\( {\bf a}_n \) の像 \( {\bf A'} \) を得る。
このとき，《宇宙旅行すると，地球に戻ってきたとき，自分の時計が地球の時計より遅れている》のように，\( {\bf A}' \) がもとの \( \bf A \) からズレることが見込まれる。
このズレを以て，「リーマン多様体 \( M\) の点 \( x \) における曲率」を定義しようというのである。
| 註： |
平行移動での＜地図を接ぐ＞は，ズレをつくろうとしてわざとやっているのではない。
「リーマン多様体」の趣旨では，一つの地図は「地図として機能する領域は微小」と考えるものになる。
「移動」は，「地図を接ぐ」を以て成ることなのである，
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