Up 座標の歪み 作成: 2018-01-26
更新: 2018-02-13


    地図 \( \phi_x \) は,中心の \(x\) から離れるほど,図が実際を歪めたものになる。
    曲線座標は,この歪みを見る方法になる:
      \( \phi_x \) の点 \(x'\) に対し,
      地図 \( \phi_{x'} \) を開き,
      \( \phi_{x'} \) を \( \phi_x \) に,つぎのように重ねる:
        座標軸の方向を一致させ,\( \phi_{x'} \) の \(x\) を \( \phi_x \) の \(x\) に重ねる
        この操作を,\( \phi_x\) 上のすべての点に対して行う。
        結果として,\( \phi_x\) の正規直交座標から曲線座標が導かれる。


      「多様体」で考える「歪み」は,非線形な歪みである。
      ──実際,「多様体」を立てるのは,非線形な歪みが主題にするためである。
      そして,この歪みをもたらしているものは,地面の曲がりである。
      地面が「平坦でない──曲がっている」ことが,地図の非線形な歪みをもたらしている当のものである。
      翻って,地図の非線形な歪みは,地面の曲がりを表現している!