Up ベクトルの平行移動 作成: 2018-01-09
更新: 2018-02-13


    「地面の曲がり」の表現に,「ベクトルの平行移動」を以下のように用いる。


    (1)   地図 \( \phi_{\xi}\) のデカルト座標の基底を, \[ {\bf E} = \{ {\bf E}_1,\, \cdots,\, {\bf E}_n \} \] とする。
    この基底に対する座標系を,\(X^i\) 座標系と称する。
    (2)   \( \phi_{\xi}\) 上の \({\bf x}\) に対し,曲線座標系の \({\bf x}\) における基底──局所直線基底──を, \[ {\bf e}({\bf x}) = \{ {\bf e}_1({\bf x}),\, \cdots,\, {\bf e}_n({\bf x}) \} \] とし,基底 \({\bf E}\) に対する各 \( {\bf e}_i({\bf x}) \) の座標を \[ ( e_i^1({\bf x}) ,\, \cdots,\, e_i^n({\bf x}) ) \] とする──即ち, \[ {\bf e}_i ({\bf x}) = e_i^{\ 1}({\bf x})\, {\bf E}_1 + \cdots + e_i^{\ n}({\bf x})\, {\bf E}_n \quad ( i = 1, \cdots, n ) \]
    また,基底 \({\bf e}({\bf x})\) に対する座標系を,\(x^i({\bf x})\) 座標系と呼ぶ。

    但し,簡便上,\( X^i\) 座標に対して \( x^i\) 座標と言ったりもする。



    \(\phi_{\xi}\) の上で,\({\bf x} \) に置いたベクトル \( {\bf A} \) を \({\bf x'} \) へ平行移動する:


    この平行移動を,曲線座標に現す:

    \( {\bf a},\, {\bf a'} \) は \( {\bf A} \) の平行移動の像であるから,つぎの3つの (共変) 座標は同じ:
      基底 \( {\bf E}\) に対する \( \bf A\) の座標
      基底 \( {\bf e}({\bf x})\) に対する \( {\bf a}\) の座標
      基底 \( {\bf e}({\bf x'})\) に対する \( {\bf a'}\) の座標
    この座標を \[ ( A_1,\, \cdots,\, A_n ) \] とする。

    また,つぎのように措く:
      基底 \( {\bf E}\) に対する \( {\bf a}\) の座標: \( ( a_1,\,\cdots,\, a_n ) \)
      基底 \( {\bf E}\) に対する \( {\bf a'}\) の座標: \( ( a'_1,\,\cdots,\, a'_n ) \)



    いま,\( \phi_{\xi}\) の \( {\bf x'} \) を \[ {\bf x'} = {\bf x} + d{\bf x} \] と見る。
    そしてこれに応じて,\( {\bf A},\, {\bf a},\, {\bf a'} \) をつぎのように見る: \[ {\bf A} \to {\bf A}({\bf x}) \\ \\ \quad ( A_1,\,\cdots,\, A_n ) \to ( A_1({\bf x}),\,\cdots,\, A_n({\bf x}) ) \\ {\bf a} \to {\bf a}({\bf x}) \\ \\ \quad ( a_1,\,\cdots,\, a_n ) \to ( a_1({\bf x}),\,\cdots,\, a_n({\bf x}) ) \\ {\bf a'} \to {\bf a}({\bf x}+ d{\bf x}) \\ \quad ( a'_1,\,\cdots,\, a'_n ) \to ( a_1({\bf x} + d{\bf x}),\,\cdots,\, a_n({\bf x} + d{\bf x}) ) \]

    このとき,
      \[ A_i({\bf x}) = A_i({\bf x}+d{\bf x}) \\ A_i({\bf x})\,{\bf e}_i({\bf x}) = a_i({\bf x})\,{\bf E}_i \qquad ( i = 1, \cdots, n) \]


    「\( {\bf a}({\bf x}) \) の微分」を考える。

    端緒として,つぎを考える: \[ \begin{align*} d{\bf a}({\bf x}) &= {\bf a}({\bf x}+ d{\bf x}) - {\bf a}({\bf x}) \\   \\&= \sum_i ({\bf a}({\bf x}+ d{\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}+ d{\bf x}))\, {\bf e}_i({\bf x}+ d{\bf x}) \\& \qquad \qquad - \sum_i ({\bf a}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}))\, {\bf e}_i({\bf x}) \\   \\&= \sum_i (\ ({\bf a}({\bf x}+ d{\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}+ d{\bf x}))\,{\bf e}_i({\bf x}+ d{\bf x}) \\& \qquad \qquad - ({\bf a}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}+ d{\bf x}))\,{\bf e}_i({\bf x}) \ ) \\   \\& \quad + \sum_i (\ ({\bf a}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}+ d{\bf x}))\,{\bf e}_i({\bf x}) \\& \qquad \qquad - ({\bf a}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}))\, {\bf e}_i({\bf x}) \ ) \\   \\&= \sum_i (\ A_i({\bf x}) \,{\bf e}_i({\bf x}+ d{\bf x}) - ({\bf a}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}+ d{\bf x}))\,{\bf e}_i({\bf x}) \ ) \\& \quad + \sum_i (\ ({\bf a}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}+ d{\bf x}))\,{\bf e}_i({\bf x}) - A_i({\bf x}) \, {\bf e}_i({\bf x}) \ ) \end{align*} \] ここで,つぎのように措く: \[ d{\bf a}({\bf x}) = \sum_i d{\bf a}_i({\bf x}) \\ d{\bf a}_i ({\bf x}) = (微分)_i + (接続)_i \\ (微分)_i = A_i({\bf x}) \,{\bf e}_i({\bf x}+ d{\bf x}) - ({\bf a}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}+ d{\bf x}))\,{\bf e}_i({\bf x}) \\ (接続)_i = ({\bf a}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}+ d{\bf x}))\,{\bf e}_i({\bf x}) - A_i({\bf x}) \, {\bf e}_i({\bf x}) \]

    \( {\bf a}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}+ d{\bf x}) \) を計算する。

    \( {\bf e}_i ({\bf x}+ d{\bf x}) \) は,つぎのようになる ( 「曲線座標基底の計算」): \[ \begin{align*} {\bf e}_i ({\bf x}+ d{\bf x}) &= {\bf e}_i ({\bf x}) + d{\bf e}_i ({\bf x}) \\&= {\bf e}_i ({\bf x}) + \sum_m \sum_j \Gamma^j_{im} {\bf e}_j({\bf x}) \ dX^m \end{align*} \\ \qquad \Gamma^j_{im} = \sum_p \sum_l \frac{\partial^2 X^p}{\partial x^l x^i } \frac{\partial x^l}{\partial X^m} \frac{\partial x^j}{\partial X^p} \] よって, \[ {\bf a}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}+ d{\bf x}) \\= {\bf a}({\bf x}) \cdot \left( {\bf e}_i ({\bf x}) + d{\bf e}_i ({\bf x})\right) \\= {\bf a}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}) + {\bf a}({\bf x}) \cdot d{\bf e}_i ({\bf x}) \\= A_i ({\bf x})+ {\bf a}({\bf x}) \cdot \left( \sum_m \sum_j \Gamma^j_{im} {\bf e}_j({\bf x}) \ dX^m \right) \\= A_i({\bf x}) + \sum_m \sum_j\Gamma^j_{im}\left( {\bf a}({\bf x}) \cdot {\bf e}_j({\bf x}) \right) dX^m \\= A_i({\bf x}) + \sum_m \sum_j\Gamma^j_{im} \, A_j({\bf x})\, dX^m \]

    こうして, \[ \begin{align*} (微分)_i &= A_i({\bf x}) \,{\bf e}_i({\bf x}+ d{\bf x}) - ({\bf a}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}+ d{\bf x}))\,{\bf e}_i({\bf x}) \\&= A_i({\bf x}) \,{\bf e}_i({\bf x}+ d{\bf x}) - \left( A_i({\bf x}) + \sum_m \sum_j\Gamma^j_{im} \, A_j({\bf x})\, dX^m \right) {\bf e}_i({\bf x}) \\&= A_i({\bf x}) \,{\bf e}_i({\bf x}+ d{\bf x}) - A_i({\bf x}) \,{\bf e}_i({\bf x}) - \left( \sum_m \sum_j\Gamma^j_{im} \, A_j({\bf x})\, dX^m \right) {\bf e}_i({\bf x}) \end{align*} \] \[ \begin{align*} (接続)_i &= ({\bf a}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i ({\bf x}+ d{\bf x}))\,{\bf e}_i({\bf x}) - A_i({\bf x}) \, {\bf e}_i({\bf x}) \\&= \left( A_i({\bf x}) + \sum_m \sum_j\Gamma^j_{im} \, A_j({\bf x})\, dX^m \right) {\bf e}_i({\bf x}) - A_i({\bf x}) \, {\bf e}_i({\bf x}) \\&= \left( \sum_j\Gamma^j_{im} \, A_j({\bf x})\, dX^m \right) {\bf e}_i({\bf x}) \end{align*} \]

    結局, \[ d{\bf a}({\bf x}) = {\bf a}({\bf x}+ d{\bf x}) - {\bf a}({\bf x}) = \sum_i d{\bf a}_i({\bf x}) \\ \begin{align*} d{\bf a}_i ({\bf x}) &= A_i({\bf x}) \,{\bf e}_i({\bf x}+ d{\bf x}) - A_i({\bf x}) \,{\bf e}_i({\bf x}) \\&= (微分)_i + (接続)_i \end{align*} \\ (微分)_i = A_i({\bf x}) \,{\bf e}_i({\bf x}+ d{\bf x}) - A_i({\bf x}) \,{\bf e}_i({\bf x}) - \left( \sum_m \sum_j\Gamma^j_{im} \, A_j({\bf x})\, dX^m \right) {\bf e}_i({\bf x}) \\ (接続)_i = \left( \sum_m \sum_j\Gamma^j_{im} \, A_j({\bf x})\, dX^m \right) {\bf e}_i({\bf x}) \]