Up マトリクス場 作成: 2018-02-05
更新: 2018-02-05


    「ベクトル場」に続くものは,「テンソル場」である。
    実際,スカラーはベクトルの特殊,ベクトルはテンソルの特殊,という関係になる。
    しかしここでは,「ベクトル場」と「テンソル場」の間に,「マトリクス場」をはさむことにする。

    この構成は,教育的観点から行うものである。
    「テンソル」の学習者は,「テンソル」とは何かをわからずに過ごす者である。
    こうなるのは,「テンソル」の教授の仕方──それは「テンソル」を「マトリクス」と混同させるだけの教授の仕方──に原因がある。
    実際,「マトリクス」を「テンソル」の意味にしているテクストもあるくらいである。
    そこで,「テンソル」の前に「マトリクス」を取り上げることで,「テンソルはマトリクスのことではないよ」を示しておこうというのである。


    マトリクス (行列) は,線型写像の表現行列のことである。
    したがって,「場」の定義図式
    の「\( E\)」に換わって措かれるものは,「\(Hom(V, W)\)」である:
    このときの「\(f\) 場」としての \( M \) を, 「マトリクス場」と謂う。


    「マトリクス場」とは,どんなふうのものか。
    例えば,ある時点での \(M\) の各点 \(x\) の気圧を記述することを考える。
    気圧は,空気の単位体積あたり重さで表現できる。
    各気圧は \(Hom(体積, 重さ)\) の要素である。
    そこで,\(M\) の各点 \(x\) の気圧を記述することは,\(M\) から \(Hom(体積, 重さ)\) への関数fを立てることである。
    そして \(M\) は,「\(f\) 場」として,マトリクス場である。