Up 「真っ直ぐな線」 作成: 2018-01-12
更新: 2018-01-12


    空間に,つぎの関数 \( \bf A \) が立っているとする:
      空間の各点 \( \bf x \) に,ベクトル \( {\bf A}({\bf x}) \) が対応
    関数 \( \bf A \) は,論展開の都合の上で可微分を要するその都度,可微分であるとする。 つまり, \( \bf A \) はなめらかに変化する。


    ベクトル \( {\bf A}({\bf x}) \) を \( {\bf x}+d{\bf x} \) に平行移動したものは,つぎのように表される: \[ {\bf A}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i({\bf x}+d{\bf x}) \] そこでもし, \[ {\bf A}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i({\bf x}+d{\bf x}) = {\bf A}({\bf x}+d{\bf x}) \cdot {\bf e}_i({\bf x}+d{\bf x}) \] であれば,\( d{\bf x} \) を「真っ直ぐ」に進んだことになる。


    上の等式を,\( x^i \) 座標の式で表す。
    「平行移動」 のところで,つぎの式を得ている: \[ {\bf A}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i({\bf x}+d{\bf x}) = a_i({\bf x}) + \Gamma^{m}_{ik} \ a_m({\bf x}) \ dx^k({\bf x}) \] これと \[ {\bf A}({\bf x}) \cdot {\bf e}_i({\bf x}+d{\bf x}) = {\bf A}({\bf x}+d{\bf x}) \cdot {\bf e}_i({\bf x}+d{\bf x}) \\ \ {\bf A}({\bf x}+d{\bf x})) \cdot {\bf e}_i({\bf x}+d{\bf x}) = a_i({\bf x}+d{\bf x}) \] をつなげて, \[ a_i({\bf x}+d{\bf x}) - a_i({\bf x}) + \Gamma^{m}_{ik} \ a_m({\bf x}) \ dx^k({\bf x}) = 0 \]

    この「真っ直ぐ進む」を続けて行える経路──線 \( {\bf x}(t) \) ──が空間の中にあるとき,これを「\( \bf A \) に沿う測地線」と呼ぶ。

    上の式はつぎのように書ける: \[ \frac{a_i({\bf x}(t)+d{\bf x}(t)) - a_i({\bf x}(t))}{dt} + \Gamma^{m}_{ik} \ a_m({\bf x}(t)) \frac{dx^k({\bf x}(t))}{dt} = 0 \] さらに, \[ \frac{d\,a_i({\bf x}(t))}{dt} + \Gamma^{m}_{ij} \ a_m({\bf x}(t)) \frac{dx^j({\bf x}(t))}{dt} = 0 \] これが「\( \bf A \) に沿う測地線」の条件式というわけである。