Up 曲線座標──「真っ直ぐ」の相対性 作成: 2018-01-19
更新: 2018-02-15


    地図 \( \phi_{P}\) は,つぎの二つの地図で成る:
    1. \( P \) から観える世界を写す地図
    2. 他の点 \( P'\) から伝わってくる地図\( \phi_{P'}\) の情報を写す地図

    a は,直線座標──正規直交座標 (デカルト座標) ──に順う。
    b は,結果的に,曲線座標になる。


    地図 \( \phi_{P}\) における「曲線座標の地図」は,つぎの地図の写しである:
      <他の点 \( P'\) の地図 \( \phi_{P'}\) であって,\(P\) が載っているもの>

    そして「写す」は,つぎの操作である:
      \( \phi_{P'}\) での \( P\) の座標を,\( ( x_0^i)\) とする。

      \( \phi_{P}\) の点 \(\bf x\) が \( \phi_{P'}\) に載っていて,
      \( \phi_{P'}\) での \(\bf x\) の座標が \((x^i)\) であるとき,\( \phi_{P}\) の座標 \((x^i - x_0^i)\) の点の上に「 \(\bf x\) 」を記す。
      このとき, \( \phi_{P}\) のデカルト座標のメッシュの上に並ぶ点は,曲線のメッシュ (下図の赤色のメッシュ) となって現れる。
      このメッシュは,\( \phi_{P}\) の曲線座標を定める。


    (1)   \( \phi_P\) のデカルト座標の基底を, \[ {\bf E} = \{ {\bf E}_1,\, \cdots,\, {\bf E}_n \} \] とする。
    この基底に対する座標系を,\(X^i\) 座標系と称する。
    (2)   曲線座標 (上図の赤色のメッシュ) を,\(x^i\) 座標系と呼ぶ。
    (3)   \( \phi_P\) 上の \({\bf x}\) に対し,\(x^i\) 座標系の \({\bf x}\) における基底──局所直線基底──を, \[ {\bf e}({\bf x}) = \{ {\bf e}_1({\bf x}),\, \cdots,\, {\bf e}_n({\bf x}) \} \] で表し,基底 \({\bf E}\) に対する各 \( {\bf e}_i({\bf x}) \) の座標を \[ ( e_i^1({\bf x}) ,\, \cdots,\, e_i^n({\bf x}) ) \] とする──即ち, \[ {\bf e}_i ({\bf x}) = e_i^{\ 1}({\bf x})\, {\bf E}_1 + \cdots + e_i^{\ n}({\bf x})\, {\bf E}_n \quad ( i = 1, \cdots, n ) \]


    この曲線座標は,自分の「真っ直ぐ」を相対化するものである。