Up 曲線座標基底の計算 作成: 2018-01-11
更新: 2018-02-12


    リーマン多様体では,各点 \(x\) に対する地図 \(\phi_x\) が所与である。
    ふつう,所与性には「任意性」の意味を重ねてしまう。
    しかしリーマン多様体の場合は,写像 \(\phi_{x'} \circ {\phi_x}^{-1}\) に対する「\(C^r\) 級」の条件から,地図は,これらの相互関係において,それなりに法則性を現してくることになる。

    「リーマン多様体」の学習は,ここで述べる内容の学習が正念場である。
    実際,「リーマン多様体」のテクストは,どれもこれも,アブストラクトな表現に終始して,肝心の意味を述べられない。
    <わかったつもり><わかったふり>で過ごしている,というわけである。


    ここでは,地図 \( \phi_x\) のデカルト座標の基底と曲線座標の基底──局所直交基底──の関係を,求める。


    デカルト座標の基底 \[ {\bf E} = \{ {\bf E}_1,\, \cdots,\, {\bf E}_n \} \] を,つぎのように \( \bf x\) から \( \bf x'\) に平行移動する:
    これを曲線座標の上に現す:
    つぎのように記号をふる:
    平行移動の前と後の \[ \{ {\bf e}_1,\, \cdots,\, {\bf e}_n \} \\ \{ {\bf e'}_1,\, \cdots,\, {\bf e'}_n \} \] は,それぞれ曲線座標の基底 \( {\bf e}({\bf x}),\, {\bf e}({\bf x'})\) である。


    いま,曲線座標の上で,\( {\bf x'} \) を \[ {\bf x'} = {\bf x} + d{\bf x} \] と見る。
    これに応じて, \[  {\bf e}({\bf x'}) \to {\bf e}({\bf x}+ d{\bf x}) = \{ {\bf e}_1({\bf x}+ d{\bf x}), \cdots, {\bf e}_n({\bf x}+ d{\bf x}) \} \]


    基底 \( {\bf e}({\bf x})\) に対する座標 \(( x_1,\, \cdots,\, x_n )\) と基底 \(\bf E\) に対する座標 \(( X_1,\, \cdots,\, X_n )\) は,つぎの式で変換される:
      \[ \left( \begin{array}{c} X^1 \\ \vdots \\ X^n \\ \end{array} \right) \ =\ \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial X^1}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial X^1}{\partial x^n} \\ & \cdots & \\ \frac{\partial X^n}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial X^n}{\partial x^n} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x^1 \\ \vdots \\ x^n \\ \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} x^1 \\ \vdots \\ x^n \\ \end{array} \right) \ =\ \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial x^1}{\partial X^1} & \cdots & \frac{\partial x^1}{\partial X^n} \\ & \cdots & \\ \frac{\partial x^n}{\partial X^1} & \cdots & \frac{\partial x^n}{\partial X^n} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} X^1 \\ \vdots \\ X^n \\ \end{array} \right) \]
      ( 「ベクトルの平行移動の像」),
    特に, \[ \left( \begin{array}{ccc} {\bf e}_1({\bf x}) & \cdots & {\bf e}_n({\bf x}) \\ \end{array} \right) \ =\ \left( \begin{array}{ccc} {\bf E}_1 & \cdots & {\bf E}_n \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial X^1}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial X^1}{\partial x^n} \\ & \cdots & \\ \frac{\partial X^n}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial X^n}{\partial x^n} \\ \end{array} \right) \\ \qquad {\bf e}_i({\bf x}) = \sum_j \frac{\partial X^j}{\partial x^i} {\bf E}_j \\ \left( \begin{array}{ccc} {\bf E}_1 & \cdots & {\bf E}_n \\ \end{array} \right) \ =\ \left( \begin{array}{ccc} {\bf e}_1({\bf x}) & \cdots & {\bf e}_n({\bf x}) \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial x^1}{\partial X^1} & \cdots & \frac{\partial x^1}{\partial X^n} \\ & \cdots & \\ \frac{\partial x^n}{\partial X^1} & \cdots & \frac{\partial x^n}{\partial X^n} \\ \end{array} \right) \\ \qquad {\bf E}_i = \sum_j \frac{\partial x^j}{\partial X^i} {\bf e}_j \] である。

    以下,\({\bf e}_i({\bf x})\) の微分,即ち
      \[ de_i ({\bf x}) = e_i ({\bf x}+ d{\bf x}) - e_i ({\bf x}) \]
    を,計算する。
    ここで「計算」の意味は,「基底 \( \bf E\) ──デカルト座標の基底──に対する表現に直す」である。

    基底 \( \bf E \) に対する \( {\bf e}_i ({\bf x})\),\( d{\bf e}_i ({\bf x})\), の座標を,それぞれ
      \[ ( e_i^1, \cdots, e_i^n ) \\ ( de_i^1, \cdots, de_i^n ) \]
    とすると, \[ \begin{align*} e_i^p &= {\bf e}_i({\bf x}) \cdot {\bf E}_p \\&= \left( \sum_j \frac{\partial X^j}{\partial x^i} {\bf E}_j \right) \cdot {\bf E}_p \\&= \sum_j \frac{\partial X^j}{\partial x^i} \left( {\bf E}_j \cdot {\bf E}_p \right) \\&= \sum_j \frac{\partial X^j}{\partial x^i} \delta_{jp} \\&= \frac{\partial X^p}{\partial x^i } \end{align*} \] これの微分をとる: \[ \begin{align*} de_i^p &= d\left( \frac{\partial X^p}{\partial x^i } \right) \\&= \sum_l \frac{\partial}{\partial x^l } \left(\frac{\partial X^p}{\partial x^i } \right)\, dx^l \\&= \sum_l \frac{\partial^2 X^p}{\partial x^l x^i } \, dx^l \\&= \sum_l \frac{\partial^2 X^p}{\partial x^l x^i } \left( \sum_m \frac{\partial x^l}{\partial X^m} dX^m \right) \\&= \sum_l \sum_m \frac{\partial^2 X^p}{\partial x^l x^i } \frac{\partial x^l}{\partial X^m} dX^m \end{align*} \] これより, \[ \begin{align*} d{\bf e}_i &= \sum_p de_i^p\ {\bf E_p} \\&= \sum_p \left( \sum_l \sum_m \frac{\partial^2 X^p}{\partial x^l x^i } \frac{\partial x^l}{\partial X^m} dX^m \right) \left( \sum_j \frac{\partial x^j}{\partial X^p} {\bf e}_j \right) \\&= \sum_m \sum_j \left( \sum_p \sum_l \frac{\partial^2 X^p}{\partial x^l x^i } \frac{\partial x^l}{\partial X^m} \frac{\partial x^j}{\partial X^p} \right) {\bf e}_j \ dX^m \end{align*} \] ここで, \[ \Gamma^j_{im} = \sum_p \sum_l \frac{\partial^2 X^p}{\partial x^l x^i } \frac{\partial x^l}{\partial X^m} \frac{\partial x^j}{\partial X^p} \] とおいて,つぎをまとめとする:
      基底 \( {\bf e}({\bf x}) = \{ {\bf e}_1({\bf x}), \cdots, {\bf e}_n({\bf x})\} \) を,上記のように定める。
      このとき, \[ d{\bf e}_i({\bf x}) = \sum_m \sum_j \Gamma^j_{im} {\bf e}_j({\bf x}) \ dX^m \\ \quad \Gamma^j_{im} = \sum_p \sum_l \frac{\partial^2 X^p}{\partial x^l x^i } \frac{\partial x^l}{\partial X^m} \frac{\partial x^j}{\partial X^p} \]