原始関数のグラフの作図 (近似処理) 作成: 2006-07-23
更新: 2008-07-18

  1. 課題：「原始関数のグラフの作図を考えよう」

      連続な関数ｆから，つぎの条件を満たす関数ＦのグラフＧを作図 :
      　　点 ( x, F(x) ) でのＧの接線の傾きが f(x)


  2. 作図のアイデア

    • f が定値関数であれば，小学算数の知識でGを求めることができる (G は直線)。
      f が定値関数ではないので，問題になっている。
    • x の区間を区切って f のグラフを＜階段＞に近似すると，G の近似 (＜折れ線＞) が得られる。
    • 区分を細かくすることによって，G のよりよい近似が得られる。
      　　予想：「区分を細かくしていくと，＜折れ線＞がひとつの形に収束する」


  3. 作業
      近似した＜階段＞グラフに対し，このときの＜折れ線＞グラフを，計算で求める。


  4. ＜階段＞グラフへの近似と，これに対する＜折れ線＞グラフを求める計算の式を，文字式で表す。
    (これは「区分求積」の概念に一般化される)

    1. ＜階段＞グラフへの近似と，これに対する区分求積 St の計算式を，文字式で表す：

        Sx ＝ f(x1)·Δx1 ＋ f(x2)·Δx2 ＋ ‥‥ ＋ f(xn)·Δxn
          ( x ＝ x1 ＋ x2 ＋ ‥‥ ＋ xn )

    2. ∑ (シグマ) の記号法を導入する：
        f(x1)·Δx1 ＋ f(x2)·Δx2 ＋ ‥‥ ＋ f(xn)·Δxn ＝　 n
        ∑
        k=1                 		f(xk)·Δxk


  5. 「区分を細かくする」の極限を，式に表す。
    (これは「定積分」の概念に一般化される)

    • lim を導入する：
        lim
        n→∞        		 n
        ∑
        k=1        		 f(xk)·Δxk