＜移動距離の変化＞のグラフの作図 (近似処理) 作成: 2006-07-23
更新: 2007-10-31

  1. 課題：「＜速度の変化＞のグラフに対する＜移動距離の変化＞のグラフの作図を考えよう」

      経過時間ｔにおける速度ｖt が示されているグラフから，
      経過時間ｔにおける移動距離 St を示すグラフを作図。


  2. 作図のアイデア

    • 等速度運動であれば，小学算数の知識で移動距離を求めることができる。
      等速度ではないので，問題になっている。
    • 時間を区切ってその間を等速運動に近似 (＝速度の変化のグラフを＜階段＞に近似) すると，移動距離変化のグラフの近似 (＜折れ線＞) が得られる。
    • 時間の区分を細かくすることによって，移動距離変化のグラフのよりよい近似が得られる。
      　予想 : 「時間の区分を細かくしていくと，
      　移動距離変化のグラフがひとつの形に収束する」


  3. 作業
      近似した＜階段＞グラフに対し，このときの＜折れ線＞グラフを，計算で求める。


  4. ＜階段＞グラフへの近似と，これに対する＜折れ線＞グラフを求める計算の式を，文字式で表す。
    (これは「区分求積」の概念に一般化される)

    1. ＜階段＞への近似と，これに対する St の計算式を，文字式で表す：

        St ＝ v1·Δt1 ＋ v2·Δt2 ＋ ‥‥ ＋ vn·Δtn
          ( t ＝ t1 ＋ t2 ＋ ‥‥ ＋ tn )

    2. ∑ (シグマ) の記号法を導入する：
        v1·Δt1 ＋ v2·Δt2 ＋ ‥‥ ＋ vn·Δtn ＝　 n
        ∑
        k=1                 		vk·Δtk


  5. 「時間の区分を細かくする」の極限を，式に表す。
    (これは「定積分」の概念に一般化される)

    • lim を導入する：
        lim
        n→∞        		 n
        ∑
        k=1        		 vt·Δtk