ｆを，二つの量の系 ( (量1, ＋), ×, (数, ＋, ×) )，( (量2, ＋), ×, (数, ＋, ×) ) の間の比例関係とする。
量1，量2 からそれぞれ要素を「単位」として固定し，ｆから「値の対応」を導く。
するとこれは，一定数倍の関数になる。
即ち，「ｙ＝aｘ」と表現されるものになる。
いま，上の二つの量の系が，つぎのように位の系に含まれているとする：
( 位1, ＋, ( (量1, ＋), ×, (Ｎ, ＋, ×) ) )
( 位2, ＋, ( (量2, ＋), ×, (Ｎ, ＋, ×) ) )
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そして，Ｆを，比例関係ｆ: 量1 → 量2 を伴うアフィン関係: 位1 → 位2 とする。
──Ｆとｆは，つぎの関係にあった：
Ｆ( Ｐ′ ) − Ｆ( Ｐ ) ＝ ｆ( Ｐ′ − Ｐ ) （ Ｐ, Ｐ′ ∈ 位1 )
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ここで，比例関係ｆから数の対応「ｙ＝ａｘ」を導いたのに倣って，アフィン関係Ｆから数の対応を導くことを考える。
これは，どのような形のものになるか？
結論から言うと，「ｙーｑ＝ａ (ｘーｐ)」 の形になる。
Ｆから数の対応を導く考え方は，量1，量2 からそれぞれ一つの要素を「単位」として固定することと併せて，位1，位2 からそれぞれ一つの要素を「基準」として固定するというものである。
即ち，以下のようになる。
位1，位2 の枠をそれぞれ (Ｏ1, ｕ1), (Ｏ2, ｕ2) とする。
いま，
ｆ(ｕ1)
＝ ｕ2 × ａ
Ｆ(Ｐ1) ＝ Ｐ2
Ｐ1 ＝ Ｏ1 ＋ ｐ1，
ｐ1 ＝ ｕ1 × ｐ1
Ｐ2
＝ Ｏ2 ＋ ｐ2，
ｐ2
＝ ｕ2 × ｐ2
とし，
Ｆ(Ｘ1) ＝ Ｘ2
Ｘ1 ＝ Ｏ1 ＋ ｘ1，
ｘ1 ＝ ｕ1 × ｘ1
Ｘ2
＝ Ｏ2 ＋ ｘ2，
ｘ2 ＝ ｕ2 × ｘ2
とするとき，
ｆ(Ｘ1 ー Ｐ1 )
＝ Ｆ( Ｘ1 ) ー Ｆ( Ｐ1 )
＝ Ｘ2 ー Ｐ2
ここで，
Ｘ1 ー Ｐ1
＝ (Ｏ1 ＋ ｘ1) ー
(Ｏ1 ＋ ｐ1)
＝ ｘ1 ー ｐ1
＝ ｕ1 × ｘ1 ー
ｕ1 × ｐ1
＝ ｕ1 ×
(ｘ1 ー ｐ1)
同様に，
即ち，ｆで，
ｕ1 ×
(ｘ1 ー ｐ1)
に
ｕ2 ×
(ｘ2 ー ｐ2)
が対応する。
そしてこのことは，つぎを意味する：
こうして，Ｆから導かれる数値の対応は，「 (ｘ1 ー ｐ1) × a
＝ ｘ2 ー ｐ2」である。
| 例. |
時刻：( 時刻, ＋, ( (時間, ＋), ×, ( , ＋, ×) ) ) と高さ：( 高さ, ＋, ( (移動, ＋), ×, (, ＋, ×) ) ) を考える。
時刻の枠に (紀元, 年) をとり，高さの枠に (水準, ｍ) をとる。
比例関係ｆ：時間 → 移動 とアフィン関係Ｆ：時刻 → 高さ を，つぎのように定める：
ｆ(年) ＝ ｍ × ａ（「毎年ａｍ高くなる」)
Ｆ(紀元ｐ年) ＝ 海抜ｑｍ
Ｆ(紀元ｘ年) ＝ 海抜ｙｍ
このとき，
ｆ( 紀元ｘ年 ー 紀元ｐ年 )
＝ 海抜ｙｍ ー 海抜ｑｍ
ここで，
紀元ｘ年 ー 紀元ｐ年
＝ 年 × (ｘ ー ｐ)
海抜ｙｍ ー 海抜ｑｍ
＝ ｍ × (ｙ ー ｑ)
即ち，ｆで，
年 × (ｘ ー ｐ)
に
ｍ × (ｙ ー ｑ)
が対応する。
そしてこのことは，つぎを意味する：
こうして，Ｆから導かれる数値の対応は，「 (ｘ ー ｐ) × ａ ＝ ｙーｑ」である。
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以上見てきたように，「量の比例関係の上の位対応」 に対し「基準・単位」を固定することで導かれる関数：数 → 数 は，直接的には「(ｘ ー ｐ) × ａ ＝ ｙーｑ」であり「ｙ＝ａｘ＋ｂ」ではない。
── ｂ＝ｑーｐ×ａ とおき直すことで「ｙ＝ａｘ＋ｂ」になる。
また，「１次関数」のグラフの解釈が，つぎのように違ってくる。
「(ｘ ー ｐ) × ａ ＝ ｙーｑ」
「ｙ＝ａｘ＋ｂ」
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