- 線型変換 (「一次変換」とも言う) は，小学算数で勉強した「量の倍」の拡張ないし一般化です。
小学校では，量のカテゴリーとして「長さ」「重さ」「時間」等々が主題になりました。
このときの個々の量カテゴリーが，線型空間 (「ベクトル空間」とも言う) になります。
そして，例えば「長さ」の場合なら，個々の長さ (量) がベクトル (線型空間の要素) になります。
さらに，量の倍が，線型変換になります。
なお，「線型変換」と紛れやすい概念に「線型写像」があります。
これは，小学算数で勉強した「２量間の比例関係 (関数)」に対応します。
( 「数と量」と「線型代数」の対応表)
- 高校数学で主題になる「ベクトル」は，平面上の変位 (移動) です。
これは，矢線の絵で表現されます：
特に，平面上の変位全体の集合 (矢線全体の集合) が，このときの「線型空間 (ベクトル空間)」になります。
平面上の矢線に対しては，これを「量」と定め「数による倍」を考えることができます。このときの「数」は複素数です。
つまり，平面上の矢線に対しては，「量と数」と「線型空間と線型変換」の二つの扱いができます。──注意：両者は異なる概念です。
- ここで，「矢線の数表現」へと考えを進めます。
（数で表現することによって計算が可能になるからです。）
矢線の数表現はつぎのようにします：
- 矢線を一つ，「単位」として定める。── これをｕとする。
u の +90度回転になる矢線を，ｖとする。
- 任意の矢線 z は，ｕxａ ＋ ｖxｂ の形に表せる。
──このときの実数の対 (ａ, ｂ) を，矢線ｚの表現とする。
z ←→ (a, b)
これにより，実数の対を要素にする線型空間 (ベクトル空間) が得られます。
実数の対が「ベクトル」というわけです。
- そして仕上げとして，ベクトル (a, b) の図表示を導入します。
すなわち，ベクトル z の表現 (a, b) をさらに進めて，xy平面上の座標 (a, b) の点に表現します：
このように表現した線型空間に対する線型変換が，高校数学で主題になる「一次変換」です。
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