Up 「＜比例関係＞と＜量＞の結合」の場合の「かけ算の順序」 作成: 2012-02-22
更新: 2012-02-24

    「１あたり量 × いくつ分」に対する「＜比例関係＞と＜量＞の結合」の解釈を示すには，準備が要る。
    先ず，これを行う。

    ＜液体の体積(かさ) と重さの関係＞を例にする。
    この関係は，比例関係である。
    体積(系) と重さ(系) を，分数係数で考えよう。
    分数(系) を (N, ＋, ×) とし，体積(系)，重さ(系) をそれぞれ ( (Q体積, ＋), ×, (N, ＋, ×) )， ( (Q重さ, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) とする。 ──なお，この構造の普遍対象が，＜量としての数＞の ( (N, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) である。

    「比例関係」は，数学では，「量の構造に関する準同型」ということになる。
    そして数学の表記にならえば，体積(系) と重さ(系) の間の比例関係全体の集合は，Hom( Q体積, Q重さ) と書かれる。

    Hom( Q体積, Q重さ) からは，量 ( (Hom( Q体積, Q重さ), ＋), ×, (N, ＋, ×) ) が導かれる。
    すなわち，＋ と × を，つぎのように定義するわけである：
    1. f, g ∈ Hom( Q体積, Q重さ) に対し，f ＋ g ∈ Hom( Q体積, Q重さ) をつぎのように定義する：
        (f ＋ g)( x ) ＝ f( x ) ＋ g( x ) 　( x ∈ Q体積 )
    2. f ∈ Hom( Q体積, Q重さ)，ｎ∈ N に対し，f × ｎ ∈ Hom( Q体積, Q重さ) をつぎのように定義する：
        (f × ｎ)( x ) ＝ f( x ) × ｎ 　( x ∈ Q体積 )

    こうして，比例関係は量になる。
    例えば，速度は時間と距離の比例関係であるが，これは量として足したり倍したりできるわけであり，実際，日常的にそうしている。

    　註 : ＜数は量の抽象＞は，「内包量」の特徴づけを「足せない」にする。 併せて，速度を内包量の一つににする。
    ＜数は量の抽象＞の立場では，速度は足せない。


    以上で，「１あたり量 × いくつ分」に対する「＜比例関係＞と＜量＞の結合」の解釈を示す準備ができた。
    「１あたり量 × いくつ分」は，「×」の意味を，Hom( Q体積, Q重さ) × Q体積 の Q重さ への写像：
      ( f, x ) ├─→　f( x )　　( f ∈ Hom( Q体積, Q重さ)，x ∈ Q体積 )
    に定めていることになる。
    すなわち，つぎを記号「×」の用法にしている：
      f × x ＝ f( x )　　( f ∈ Hom( Q体積, Q重さ)，x ∈ Q体積 )
    ちなみに，この「×」に対応する数学を求めるならば，「テンソル積」がこれにあたる。
    ( 「2個/皿 × 3皿 ＝ 6個」の数学：テンソル積)

    「数の積は量の積の抽象」の意味は，＜f × x に対し，数の積の式を立てる＞である。
    これをどのようにしているか？

    文章題では，体積と重さの単位がたとえば cm3 と g で与えられ，そして f × x が「 2/5 g/cm3 × 4/3 cm3」のようになる。
    「数の積は量の積の抽象」の立場は，「 2/5 g/cm3 × 4/3 cm3」に対し直接「2/5 × 4/3」を立式することになる。
    ここには，明証は無い。

    これを明証する数学は，つぎのようになる：
「 2/5 g/cm3 × 4/3 cm3」
＝ ( g/cm3 × 2/5 ) ( cm3 × 4/3 )
＝ ( g/cm3 ( cm3 × 4/3 ) ) × 2/5
＝ ( g/cm3 ( cm3 ) × 4/3 ) × 2/5
＝ g × ( 4/3 × 2/5 )
＝「( 4/3 × 2/5 ) g」

    「数直線」だと，つぎの手順の作図になる：

    ここで，「１あたり量 × いくつ分」での 2/5 と 4/3 の順序が，数の積の式では逆になった。

    「１あたり量 × いくつ分」の順序と積の式の２数の順序を同じにしたいならば，g/cm3 × 2/5 が比例関係であることを先に適用して，つぎの流れに替えることになる：
「 2/5 g/cm3 × 4/3 cm3」
＝ ( g/cm3 × 2/5 ) ( cm3 × 4/3 )
＝ ( g/cm3 × 2/5 ) ( cm3）× 4/3
＝ ( g/cm3 ( cm3 ) × 2/5 ) × 4/3
＝ g × ( 2/5 × 4/3 )
＝「( 2/5 × 4/3 ) g」
    「数直線」だと，つぎの手順の作図になる：

    このように，「＜比例関係＞と＜量＞の結合」の解釈を以て「１あたり量 × いくつ分」を立場とするときは，数の積の式での２数の順序が定まらない。
    「１あたり量 × いくつ分」を立場にすることは，「＜比例関係＞と＜量＞の結合」がこれの解釈である場合には，「かけ算に順序はない」を引き受けることなのである。