Up 積の立式における＜いろいろ＞と＜ひととおり＞の区別  

    つぎの長方形の面積 (単位 cm2) を求めるときの立式を考えてみる：
    このときは，つぎの倍関係をとらえる：


あるいは　　


    cm2 を単位とする数値「?」の立式は，つぎのようになる (積の意味)：
      最初の図のように「２倍して３倍」のように構造化したときは,
      　「２×３」であり,「３×２」ではない。
      後の図のように「３倍して２倍」のように構造化したときは,
      　「３×２」であり,「２×３」ではない。

    この例では，問題の構造化の仕方を２通り示した。 このように，問題の構造化では，＜いろいろ＞をやる余地がある。
    しかし，構造化された問題から導かれる２数の積の式は，＜ひととおり＞である。 ２数を並べる順序に，＜いろいろ＞の余地はない。


    つぎの問題を考えよう：

      入場を待つ人が並んでいる。
      10人ずつ区切って入場させた。
      200回目で全部を入場させることができた。
      入場者の数は，10 と 200 の２数の積で求められる。
      その積の式は？

    積の立式は「倍の合成 (倍の倍)」の構造から導かれるわけだが，この問題での「倍の合成」構造の自然なとらえ方は，つぎのものである：
    そして，この構造化に応ずる積の立式は「10 × 200」である。

    10 と 200 の順序をこれとは逆にした「200 × 10」の立式を導くためには，「200倍して10倍する」の構造図を描かねばならないが，これを描くときは相当屁理屈をこねることになる。


    つまり，問題から「倍の合成」の構造を導くときには＜いろいろ＞の余地があるが，問題によって，「どちらをやっても五分五分である」とか「この構造化はいかにも無理がある」といったことが起こってくる。