２で割ったときの余りは，０ (「割り切れる」) か１のいずれかである。 余りを使って自然数を２つに類別できる。 この２つの類に対する名称が，「偶数・奇数」である。 翻って，「偶数・奇数」の授業は，《自然数を，２で割ったときの余りを使って類別》を教える授業である。 この授業につづく授業は，どんなか？ 「３だったらどうか？」の授業である。 《自然数を，３で割ったときの余りを使って類別》が主題になり，《自然数は，余り０，１，２の３つの類に分かれる》が内容になる。 そして，この進む先は，つぎの形の一般化である：
──余り０，１，２，‥‥，ｎー１のｎ個の類に分かれる》 余りを使った自然数の類別でつくられる類を，「剰余類」と呼ぶ。 すなわち，「ｎで割ったときの余りを使った類別」に対し，「ｎを法とする類別」の言い回しを用い，このときの類に対し「ｎを法とする剰余類」の言い回しを用いる。 このように，「偶数・奇数」の数学は，「剰余類」である。 ちなみに，剰余類を導く数学の方法は，例えば「偶数・奇数」だと，
ここで「ｍ ≡ ｍ′ (mod 2)」の意味は，「ｍーｍ′ が２の倍数になる ｍとｍ′ は，同類」である。 実際，偶数同士はこの方式で確かに同類となり，奇数同士も同類となる。 一般に，「ｎで割ったときの余りを使った類別」は「同値関係 ｍーｍ′ (mod ｎ) による類別」と同じであり，「ｎを法とする剰余類」がこのときの剰余類である。 読者は，つぎを「ｎを法とする類別・剰余類」の絵としてもっているとよい： 
集合論の「同値関係・同値類」で済んでいることがらは，「剰余類」で繰り返さなくてよいわけである。 実際，この「省力」は，「構成主義・系統主義」の立場として数学がまさに大事にしているところのものである。 |